Question

Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит катет на отрезки длиной 6 см и 10 см. Найти S треугольника.

Answer 1

Известно: биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам)))
т.к. гипотенуза --это всегда бОльшая сторона треугольника, то отрезок длиной 10 будет соседствовать с гипотенузой...
остальное по т.Пифагора))
стороны данного треугольника: катеты 12 и 16, гипотенуза 20 (это "египетский" треугольник, подобный треугольнику 3; 4; 5)

Answer 2

Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $A$ является острым, и биссектриса $AD$ этого угла делит катет $BC$ на отрезки $BD=6$ и $CD=10$ (см. рисунок).

[asy] pair A, B, C, D; A=(0,0); B=(0,6); C=(10,0); D=(0,3); draw(A--B--C--cycle); draw(A--D); label("$A$",A,SW); label("$B$",B,NW); label("$C$",C,SE); label("$D$",D,W); label("6",(B+D)/2,W); label("10",(D+C)/2,S); [/asy]

Так как точка $D$ является серединой катета $BC$, то $BD=DC$, и угол $ADC$ равен прямому углу. Тогда треугольник $ACD$ также является прямоугольным, и $AD$ является гипотенузой этого треугольника. Пусть $AB$ и $AC$ обозначают катеты этого треугольника. Тогда, по теореме Пифагора для треугольника $ACD$:

$AD^2 = AC^2 + CD^2$

$AB^2 + BD^2 = AC^2 + CD^2$

Подставляя известные значения, получаем:

$AB^2 + 6^2 = AC^2 + 10^2$

$AB^2 = AC^2 + 64 - 100$

$AB^2 = AC^2 - 36$

Но заметим, что точка $D$ лежит на биссектрисе угла $A$, поэтому отношение длины сторон $AB$ и $AC$ равно отношению длин отрезков $BD$ и $CD$, т.е.

$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Отсюда следует, что $AB = \frac{3}{5}AC$. Подставляя это в предыдущее уравнение, получаем:

$\left(\frac{3}{5}AC\right)^2 = AC^2 - 36$

$\frac{9}{25}AC^2 = AC^2 - 36$

$\frac{16}{25}AC^2 = 36$

$AC^2 = \frac{25}{16} \cdot 36$

$AC = \frac{15}{4}$

$AB = \frac{9}{4}$

Теперь мы можем найти площадь треугольника $ABC$:

$$$$