Question

Через вершину В прямоугольника АВСD проведена прямая, пересекающая продолжение стороны АD в точке К так, что АD=DK. Периметр прямоугольника равен 42 см, а сторона BC на 3 см больше АВ. Найдите площадь треугольника АВК.

Answer 1

Обозначим:
- стороны  АВ и СД за х,
- стороны ВС и АД за (х + 3),
Периметр равен 2х + 2(х + 3) = 2х + 2х + 6 = 4х + 6.
Он равен 42: 
4х + 6 = 42
4х = 42 - 6 = 36.
х =36 / 4 = 9 см.
Длинные стороны равны 9 + 3 = 12 см.
Сторона треугольника АК = 2АД = 2*12 = 24 см.
S(ABK) = (1/2)*9*24 = 108 cм².

Answer 2

Обозначим длину стороны прямоугольника, соединяющей вершины А и В, через х. Тогда длина стороны ВС будет равна х+3. Так как периметр прямоугольника равен 42 см, то:

2x + 2(x+3) = 42

Решив уравнение, получим, что х=9. Значит, сторона ВС равна 12 см.

Так как АD=DK, то треугольник АВК является прямоугольным и изоскелесным. Пусть x обозначает длину стороны АК и BK. Тогда, применяя теорему Пифагора для треугольника АВК, получим:

x² + x² = 9²

Решив уравнение, получим, что x=3√2.

Таким образом, площадь треугольника АВК равна:

(1/2) * АК * ВК = (1/2) * 3√2 * 12 = 18√2 кв.см.

Ответ: 18√2 кв.см.