Question

в окружности с центром O преведины деаметры AC, BD. докажите что четырёхугольник ABCD является прямоугольником. найдите отрзок BC, если AC=18 см, ABD=30 градусов​

Answer 1

Ответ:

ВС = 9 см.

Объяснение:

∠АВС = ∠ ADC = 90°, так как эьо вписанные углы, опирающиеся на диаметр АС. Точно также ∠DAB = ∠DCB = 90°, как углы, опирающиеся на диаметр BD.  =>

Четырехугольник АВСD - прямоугольник, что и требовалось доказать.

В прямоугольном треугольнике DBC угол ∠BDC = 30° (как внутренний накрест лежащий с углом ∠ABD. (AB║DC, BD - секущая).

Тогда ВС = BD/2 = 9 см (как катет против угла 30°, а BD = AC, как диагонали прямоугольника.

Answer 2

Чтобы доказать, что четырехугольник $ABCD$ является прямоугольником, нужно показать, что его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ (центре окружности) и что углы $ABC$ и $ADC$ прямые.

Так как диаметр $AC$ проходит через центр окружности $O$, то он является перпендикуляром к хорде $BC$. Аналогично, диаметр $BD$ является перпендикуляром к хорде $AD$. Из этого следует, что $AB\perp CD$ и $BC\perp AD$.

Также известно, что хорда $AC$ равна диаметру, то есть $AC=2r$, где $r$ - радиус окружности. Из рисунка можно заметить, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, так как $AB=BC$. Значит, угол $ABC$ равен $30^\circ$ (половина угла $ABD$, который равен $60^\circ$). Так как углы треугольника $ABC$ суммируются до $180^\circ$, то угол $ACB$ тоже равен $75^\circ$.

Теперь можно вычислить отрезок $BC$ с помощью теоремы косинусов для треугольника $ABC$:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle ABC$$

Подставляя значения, получаем:

$$BC^2 = 18^2 + 18^2 - 2 \cdot 18 \cdot 18 \cdot \cos 30^\circ = 972 - 486\sqrt{3}$$

Таким образом, отрезок $BC \approx 8{,}85$ см.

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник $ABCD$ является прямоугольником, и нашли значение отрезка $BC$.