Question

Кут при вершині рівнобедренного трикутника дорівнюе 40°. Одна з бічних сторін цього трикутника є діаметром півкола, що ділиться іншими сторонами на три дуги. Знайти градусну міру цих дуг. (8-9 клас, можна українською або російською)

Answer 1

Решение на фото/////

Answer 2

Оскільки трикутник рівнобедрений, то його дві бічні сторони рівні між собою. Оскільки одна з цих сторін є діаметром півкола, то кут між ними дорівнює 90 градусів.

Нехай дуги, на які розбивається інша бічна сторона трикутника, мають градусні міри $x$, $y$ та $z$. Тоді сума цих градусних мір дорівнює 180 градусам, оскільки ці дуги утворюють ціле коло:

$x + y + z = 180^\circ.$

Оскільки півколо ділить іншу бічну сторону трикутника на три рівні дуги, то кут між кінцями кожної з цих дуг дорівнює 60 градусам. Звідси випливає, що градусна міра кожної з цих дуг дорівнює $2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$. Таким чином, ми можемо записати систему рівнянь:

$\begin{cases}x + y + z = 180^\circ, \\ y = 120^\circ, \\ z = 120^\circ.\end{cases}$

Підставляючи значення $y$ та $z$ у перше рівняння, отримаємо:

$x + 120^\circ + 120^\circ = 180^\circ,$

звідки $x = 180^\circ - 240^\circ = -60^\circ$. Однак, така градусна міра дуги неможлива, тому ми допускаємо помилку. Фактично, дуги утворюють розміщення на колі в певному порядку, і тому нам потрібно розглянути три випадки.

Якщо $x$, $y$ та $z$ відповідають дугам, розташованим в порядку $x$, $y$, $z$, то $x = 40^\circ$, $y = 120^\circ$ та $z = 20^\circ$. Якщо дуги розташовані в порядку $x$, $z$, $y$, то $x = 20^\circ$, $y = 40^\circ$ та $z = 120^\circ$. Нарешті, якщо дуги розташовані в поряд