Question

Из точки Р к окружности с центром в точке О проведены касательные РА и РВ ( А и В - точки касания ) угол АРВ = 90° . Расстояние между точками касания АВ равно корень из 5. Чему равно расстояние ОР?

Answer 1

......................

Answer 2

Вроде должно быть так

Answer 3

Для решения задачи мы можем воспользоваться теоремой Пифагора и свойствами касательных.

Обозначим расстояние ОР через х. Тогда расстояние OA и OB также равны х, потому что О - центр окружности, а ОА и ОВ - радиусы. Рисуем диаграмму и добавляем известные значения:

cssCopy code
            A          B
            *          *
           /|\        /|\
          / | \      / | \
         /  |  \    /  |  \
        /   |h \  /   |h  \
       /    |   \/    |   \
      /     |   /\    |    \
     /      |  /  \   |     \
    /       | /    \  |      \
   /        |/      \ |       \
  P---------C-------O--------D
             2x        2x

Здесь C - середина отрезка AB, P - точка касания AB с окружностью, D - точка пересечения ОР с окружностью.

Заметим, что треугольник ACP и треугольник BCP являются прямоугольными, так как углы при точках касания прямые (касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания).

Тогда по теореме Пифагора для этих треугольников имеем:

Copy code
AC² = AP² + PC²
BC² = BP² + PC²

Заметим, что AP = BP (как радиусы окружности) и AC = BC (как отрезки, проведенные к точкам касания).

Таким образом, мы можем написать:

Copy code
2x² = AP² + PC²
2x² = BP² + PC²

Сложим эти два уравнения, чтобы избавиться от PC²:

Copy code
4x² = AP² + 2PC² + BP²

Заметим, что AP + PB = AB = $\sqrt{5}$. Тогда AP = $\frac{\sqrt{5}}{2}$ и BP = $\frac{\sqrt{5}}{2}$.

Подставляем это в предыдущее уравнение и получаем:

arduinoCopy code
4x² = (\sqrt{5}/2)² + 2PC² + (\sqrt{5}/2)²
4x² = 5/2 + 2PC²

Теперь заметим, что треугольник ОDP также является прямоугольным, потому что OD - радиус окружности, а угол ODP - прямой. Тогда по теореме Пифагора для него имеем:

Copy code
OD² = OP² + PD²

Мы хотим найти х, которое равно OD