Question

Все двугранные углы при основании тетраэдра равны по 60°. Стороны основания равны 20 см, 21см, 29 см. Найдите площадь боковой поверхности тетраэдра

Answer 1

То, что указанные двугранные углы равны, говорит о том, что боковые грани одинаково наклонены к плоскости основания, значит основание высоты тетраэдра лежит в центре вписанной в основание окружности.
Площадь боковой поверхности пирамиды: Sб=p·l, где р - полупериметр, l - апофема боковой грани.
р=(20+21+29)/2=35 см.
r=S/p, где S - площадь основания.
По формуле Герона S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=√(35(35-20)(35-21)(35-29))=210 cм².
r=210/35=6 см.
В треугольнике, образованном найденным радиусом, высотой пирамиды и апофемой, угол между апофемой и радиусом равен 60° (по условию). Апофема: l=r/cos60=6/0.5=12 см.
Sб=35·12=420 см² - это ответ.

Answer 2

Для начала найдём высоту тетраэдра, опущенную на основание. Пусть $ABC$ — основание, $D$ — вершина тетраэдра. Так как все углы при основании равны $60^\circ$, то треугольник $ABC$ является равносторонним. Пусть $O$ — центр его описанной окружности. Тогда $AO$ является медианой и высотой, а также биссектрисой угла $A$ в треугольнике $ABC$. Поэтому $AD$ перпендикулярна $BC$, и мы можем найти её, используя теорему Пифагора:

$$AD^2 = AB^2 - BD^2 = AC^2 - CD^2 = 29^2 - \left(\frac{20+21}{2}\right)^2 = 435.$$

Отсюда получаем $AD = \sqrt{435}$. Поскольку $ABC$ — равносторонний треугольник, то его высота $AO$ равна $20\sqrt{3}/3$ (можно найти, например, по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $AOD$, где $D$ — середина $BC$). Тогда площадь боковой поверхности тетраэдра равна

$$S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AO = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{435} \cdot \frac{20\sqrt{3}}{3} = \frac{10}{3} \sqrt{435} \approx 170{,}7 \text{ см}^2.$$

Ответ: площадь боковой поверхности тетраэдра примерно равна 170,7 квадратных сантиметров.