Question

Угол между касательными ab и bc к окружности с центром в точке o равно 60 причем ob 10 найти ab

Answer 1

проводим перпендикуляры ОА и ОС в точки касания, треугольник АВО=треугольник СВО как прямоугольные по гипотенузе ВО-общая, и катету ОС=ОА=радиус, ВО-биссектриса, уголАВО=уголСВО=1/2уголВ=60/2=30, ОА=ОС=1/2ВО лежит против угла 30, ОА=ОС=10/2=5, АВ²=ОВ²-ОА²=100-25=75, АВ=5√3

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся свойством касательных к окружности, которое гласит, что касательная, проведенная к окружности в точке пересечения с радиусом, перпендикулярна к этому радиусу. Из этого свойства следует, что треугольник $OAB$ является равнобедренным, где $O$ - центр окружности, $A$ и $B$ - точки касания касательной $AB$ и радиуса $OB$ соответственно. Значит, угол $OAB$ равен $\frac{180^\circ - \angle AOB}{2}$. Также, угол $OBC$ равен $\angle AOB$ в силу того, что $AB$ и $BC$ являются касательными к окружности в точках $A$ и $B$ соответственно.

Таким образом, угол $OBC$ равен $60^\circ$, а угол $OAB$ равен $\frac{180^\circ - \angle OAB}{2}$. Значит,

$\frac{180^\circ - \angle OAB}{2} + \angle OBC = 60^\circ,$ $\frac{180^\circ - \angle OAB}{2} = 60^\circ - \angle OBC = 60^\circ - \angle AOB,$ $\angle OAB = 60^\circ - 2 \cdot \angle AOB.$

Также, из равнобедренности треугольника $OAB$ следует, что $OA = OB = 10$.

Используем теперь теорему косинусов в треугольнике $OAB$:

$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos \angle AOB.$

Заменяем $\angle AOB$ на $30^\circ$, так как $\angle OAB = 60^\circ - 2 \cdot \angle AOB = 60^\circ - 2 \cdot 30^\circ = 0^\circ$:

$AB^2 = 10^2 + 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \cos 30^\circ = 200 - 200 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 200 - 100 \sqrt{3}.$

Таким образом, $AB = \sqrt{200 - 100 \sqrt{3}}$. Ответ: $AB \approx 4,14$.