Question

Рассмотрим на координатной плоскости точки A(-2; 5) и B(4; -3). Найдите координаты точки M, если AM^2 + BM^2 = 50.

Answer 1

 Пусть М(х,у). 
АМ² =(х+2)²+(у-5)²
ВМ²= (х-4)²+(у+3)².
Получим уравнение (х+2)²+(у-5)²+(х-4)²+(у+3)²=50.
После упрощения получим 2х²-4х+2у²-4у = -4.
х²-2х+у²-2у = -2. Выделим квадраты в левой части 
х²-2х+1-1+у²-2у+1-1 = -2
(х-1)²+(у-1)² = 0. Это уравнение имеет единственное решение (1;1),т.к. сумма неотрицательных квадратов может быть равна 0, если каждое слагаемое равно 0.

Answer 2

Для начала, найдем координаты точки M. Обозначим их через (x, y).

Тогда расстояние от точки A до точки M равно:

AM^2 = (x - (-2))^2 + (y - 5)^2 = (x + 2)^2 + (y - 5)^2

А расстояние от точки B до точки M равно:

BM^2 = (x - 4)^2 + (y - (-3))^2 = (x - 4)^2 + (y + 3)^2

Таким образом, уравнение AM^2 + BM^2 = 50 можно переписать в виде:

(x + 2)^2 + (y - 5)^2 + (x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 50

Разложим скобки и приведем подобные слагаемые:

2x^2 + 2y^2 - 4x - 16y + 50 = 50

Упростим:

x^2 + y^2 - 2x - 8y = 0

Перенесем все слагаемые на одну сторону:

x^2 - 2x + y^2 - 8y = 0

Закончим квадрат, добавив и вычтя некоторые константы:

(x - 1)^2 - 1 + (y - 4)^2 - 16 = 0

(x - 1)^2 + (y - 4)^2 = 17

Таким образом, координаты точки M равны (1, 4 + sqrt(17)) или (1, 4 - sqrt(17)).