Question

В трапеции ABCD с основаниями AB и CD диагонали AC и BD равны 18 и 16 сооствественно. На диагонале AC как на диаметре построена окружность, пересекающая прямую AB в точке K. Найти длину AK , если известно, что угол CAB в 2 раза меньше угла ABD.

Answer 1

Расстояние h между параллельными AB и CD постоянно.

h/18 =sin(a)

h/16 =sin(180-2a) =sin(2a) =2sin(a)cos(a)

18/16 =2cos(a) <=> cos(a)=9/16

Угол AKC - прямой, т.к. опирается на диаметр.

AK =AC*cos(a) =18*9/16 =81/8  ~10,125

Answer 2

Пусть угол CAB равен x градусам, тогда угол ABD равен 2x градусам.

Из условия диагонали AC и BD равны 18 и 16 соответственно, мы можем использовать теорему косинусов для нахождения длины отрезка AK.

В треугольнике ABC, применяя теорему косинусов к стороне AC, имеем:

AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos(x)

18^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos(x) ----(1)

В треугольнике ABD, применяя теорему косинусов к стороне BD, имеем:

BD^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos(2x)

16^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos(2x) ----(2)

Из уравнений (1) и (2) мы можем выразить AB^2 + BC^2 в обоих уравнениях:

AB^2 + BC^2 = 18^2 + 2 * AB * BC * cos(x) ----(3) AB^2 + BC^2 = 16^2 + 2 * AB * BC * cos(2x) ----(4)

Вычитая уравнение (4) из уравнения (3), получаем:

0 = 18^2 - 16^2 + 2 * AB * BC * (cos(x) - cos(2x))

324 - 256 = 2 * AB * BC * (cos(x) - cos(2x))

68 = 2 * AB * BC * (cos(x) - cos(2x)) ----(5)

Угол CAB в 2 раза меньше угла ABD, поэтому мы можем заменить cos(2x) в уравнении (5) с использованием тригонометрической формулы cos(2x) = 2 * cos^2(x) - 1:

68 = 2 * AB * BC * (cos(x) - (2 * cos^2(x) - 1))

68 = 2 * AB * BC * (-cos^2(x) + cos(x) + 1)

34 = AB * BC * (-cos^2(x) + cos(x) + 1) ----(6)

Мы также знаем, что угол CAB в 2 раза меньше угла ABD, поэтому x = 2(2x):

x = 4x

3x = 0

x = 0

Получили, что x = 0, но это противоречит условию, так как угол не может быть равным нулю.

Следовательно, в данной трапеции нет такого значения угла, которое бы удовлетворяло всем условиям.