Question

Радиус окружности вписанной в равнобедренный треугольник равен 2 см, длина основания равна 4√‎3 см. Найдите площадь треугольника.

Answer 1

................................................

Answer 2

Пусть $ABC$ — равнобедренный треугольник, в котором боковые стороны $AB$ и $AC$ равны, $I$ — центр вписанной окружности, $r$ — радиус этой окружности, $BC=a$ — длина основания.

Так как $AB=AC$, то $BI=CI$, и прямая $BI$ является биссектрисой угла $BAC$. Обозначим точку касания окружности с стороной $BC$ через $D$. Тогда $ID$ — это высота треугольника $ABC$ из вершины $A$, а также медиана и биссектриса в этом треугольнике.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $BID$: $BD^2=BI^2-ID^2=(a/2)^2-r^2.$ Так как $BD$ и $DC$ равны, то $BC=BD+DC=2BD$, откуда $BD=\frac{a}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+4r^2/a^2}}.$ Теперь мы можем найти высоту $h$ из вершины $A$: $h=ID=r\sqrt{1+4r^2/a^2}.$ Площадь треугольника $ABC$ равна $S=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot r\sqrt{1+4r^2/a^2}=2\sqrt{3}r\sqrt{a^2+4r^2}.$ Подставляя известные значения, получаем $S=2\sqrt{3} \cdot 2 \cdot \sqrt{3}=12\text{ см}^2.$ Ответ: площадь треугольника равна $12\text{ см}^2$.