Question

Стороны прямоугольника равны 5 см и 4 см. Биссектрисы углов, прилегающих к большей стороне, делят противоположную сторону на три части. Найди длины этих сторон. Заранее спасибо!

Answer 1

Допустим, бисектрисы ND и АК

Треугольник NCD - равнобедренный
NC = CD
BN = 1 см
BN = BA = 4 cm
KC = 1 cm
NK = 5 - 1 - 1 = 3 cm
Ответ: BN = 1 cm, NK = 3 cm, KC = 1 cm.

Answer 2

Рассмотрим прямоугольник со сторонами 5 см и 4 см. Пусть $AB=5$ см, $BC=4$ см.

Пусть $BD$ и $BE$ - биссектрисы углов $ABD$ и $ABE$ соответственно, где точки $D$ и $E$ лежат на стороне $AE$. Тогда по свойству биссектрисы:

$\frac{AD}{BD} = \frac{AB}{BE}$

$\frac{5}{BD} = \frac{5+4}{BE}$

$BE = \frac{9}{4}BD$

Также из условия задачи известно, что $DE$ делит сторону $AB$ на три равные части. Пусть точки $F$ и $G$ - точки деления стороны $AB$ на две равные части, тогда:

$AF = FG = GB = \frac{AB}{3} = \frac{5}{3} \text{ см}$

Также заметим, что треугольник $BDE$ подобен треугольнику $ABG$, так как они имеют соответственные углы. Тогда:

$\frac{BD}{BG} = \frac{BE}{AB}$

$\frac{BD}{\frac{5}{3}} = \frac{\frac{9}{4}BD}{5}$

$BD^2 = \frac{25}{27}$

$BD = \frac{5}{3\sqrt{3}} \text{ см}$

Отсюда находим $BE$:

$BE = \frac{9}{4}BD = \frac{15}{4\sqrt{3}} \text{ см}$

Теперь осталось найти длину стороны $AE$. Заметим, что треугольник $ADE$ - прямоугольный, поэтому:

$AE = \sqrt{AD^2 + DE^2} = \sqrt{\left(\frac{5}{3} \right)^2 + \left(\frac{2}{3}BE \right)^2} = \frac{5\sqrt{10}}{9} \text{ см}$

Итак, длины сторон прямоугольника равны $AB=5$ см и $BC=4$ см, а длины биссектрис, проходящих из вершин $B$ и $A$, соответственно, равны $BD=\frac{5}{3\sqrt{3}}$ см и $BE=\frac{15}{4\sqrt{3}}$ см. Длина стороны $AE$ равна $\frac{5\sqrt{10}}{9}$ см.