Question

Дан некоторый острый угол α=60∘. На одной из его сторон отмечены точки A1и A2, на другой стороне отмечена точка B. Вершина угла — Н. Известно, что HA1=2, A1A2=8. При какой величине отрезка HB величина острого угла между прямыми A1B и A2B будет максимальна? Ответ введите с точностью до десятитысячных.

Answer 1

Ответ: 2*sqrt(5). Пояснение: Выразим косинус угла между прямыми BA1  и BA2, при помощи теоремы косинусов.Обозначим BA1=a , BA2=b , α=угол между BA1  и BA2 ,

тогда cos(α)=(a^2+b^2-64)/(2*a*b). После этого нужно выразить а и b через x. Для этого тоже воспользуемся теоремой косинусов (рассматривая треугольники BHA1 и BHA2 соответственно). Получим a^2=x^2-2*x+4 , b^2= x^2-10*x+100 . Эти значения подставим в выражение для косинуса альфы. Теперь подумаем, когда угол между прямыми максимальный? ответ: когда косинус принимает минимальное значение.

Теперь у нас есть выражение для  cos(α) зависящее только от x ,и для получения ответа, нам нужно найти минимум этого выражения, то есть такой х , что выражение cos(α) минимально.

Answer 2

Обозначим через C точку на прямой A1B такую, что A1C ⊥ BС, а через D – точку на прямой A2B такую, что A2D ⊥ BD.

Тогда требуется найти такое значение x = HB, чтобы угол BСD был максимальным.

Заметим, что треугольник A1HC является прямоугольным, поэтому AC = A1H cos α = 1. По теореме Пифагора в треугольнике A1BC: BC² = A1C² + AB² = 1 + x².

Аналогично, в треугольнике A2HC имеем: CH = A2H cos α = 0.5, и в треугольнике A2BD: BD² = A2D² + AB² = 16 + x².

Рассмотрим треугольник BСD. Из угла между прямыми A1B и A2B следует, что угол BCD равен 180° - 2α = 60°, а значит, BСD является равносторонним треугольником. Поэтому, BC = BD = CD.

Из уравнений выше следует:

BC² = 1 + x²,

BD² = 16 + x²,

BC = BD.

Отсюда получаем уравнение:

1 + x² = 16 + x²,

x² = 15,

x = √15.

Таким образом, максимальное значение острого угла между прямыми A1B и A2B достигается при x = HB = √15.

Ответ: √15 ≈ 3.873.