Question

Діагоналі рівнобічної трапеції ділять її середню лінію на три рівні частини і є взаємно перпендикулярними. Знайдіть площу трапеції, якщо її більша основа дорівнює 12.

Answer 1

Примем длину третьей части ЕК средней линии за х.

Тогда по подобию верхнее основание ВС = 2х.

Средняя линия EF = (2x +12)/2 = 3x.

2x + 12 = 6x

x = 12/4 = 3.

Значит, средняя линя равна 3*3 = 9.

Так как диагональ под углом 45 градусов, то высота трапеции равна 6 + 3 = 9.

Площадь S = 9*9 = 81 кв.ед.

Answer 2

Позначимо трапецію ABCD, де AB - більша основа довжиною 12, а BC = AD - менша основа. Нехай E - точка перетину діагоналей AC і BD, а F - середина відрізка EF, що є середньою лінією трапеції.

Оскільки діагоналі трапеції є взаємно перпендикулярними і ділять середню лінію на три рівні частини, то вони ділять трапецію на чотири рівні трикутники. Зокрема, трикутники ABE і CDE є прямокутними і рівнобедреними. Оскільки діагоналі є взаємно перпендикулярними, то вони також є бісектрисами кутів при вершинах B і D, тому ми можемо записати:

$AE = CE = \frac{1}{3} \cdot EF$ $BE = DE = \frac{1}{3} \cdot DF$

Площа трапеції може бути знайдена як сума площ двох трикутників ABE та CDE і прямокутника FBCD, що є середньою лінією трапеції:

$S_{ABCD} = S_{ABE} + S_{CDE} + S_{FBCD}$

Так як трикутники ABE і CDE є рівнобедреними, то їхні площі можна обчислити як:

$S_{ABE} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BE = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot \frac{1}{3} \cdot DF = 2 DF$ $S_{CDE} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot DE = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot \frac{1}{3} \cdot DF = 2 DF$

Площа прямокутника FBCD може бути знайдена як добуток його сторін:

$S_{FBCD} = FB \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot EF \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot FD \cdot CD = \frac{1}{6} \cdot DF^2$

Отже, маємо:

$S_{ABCD} = S_{ABE} + S_{CDE} + S_{FBCD} = 2 DF + 2 DF + \frac{1}{6} \cdot DF^2 = \frac{1}{3} \