Question

Основания равнобедренной трапеции равны 4 и 34. Боковые стороны равны 25. Найдите синус острого угла трапеции.

Answer 1

Пусть ВС и АD - основания трапеции, ВС=4, AD=34. Из точек В и С проводим высоты BH и CO, тогда НО=4, AH и OD равны 34-4=30, АН=OD=15. Рассм. треуг. АВН. По теореме пифагора АН^2 + BH^2=AB^2, тогда BH^2 =625-225=400, ВН=20. Синус угла А=ВН/AB=20/25=0.8

Answer 2

Для решения задачи нам понадобятся знания о свойствах равнобедренных трапеций.

Пусть ABCD - равнобедренная трапеция, в которой основания AB и CD равны, а боковые стороны AD и BC также равны между собой. Пусть угол между основаниями равен α, а боковая сторона равна b. Тогда можно использовать теорему косинусов для нахождения диагонали трапеции:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cdot \cos{\alpha}$$

Так как трапеция равнобедренная, то $AB=CD$, $AD=BC$. Из условия задачи известны значения $AB=4$, $CD=34$ и $AD=BC=25$. Поэтому:

$$AC^2 = 4^2 + 25^2 - 2 \cdot 4 \cdot 25 \cdot \cos{\alpha} = 34^2 + 25^2 - 2 \cdot 34 \cdot 25 \cdot \cos{\alpha}$$

Решая уравнение относительно $\cos{\alpha}$, получаем:

$$\cos{\alpha} = \frac{25^2 - 4^2 - 34^2}{2 \cdot 4 \cdot 25} = -\frac{21}{40}$$

Так как $\alpha$ - острый угол, то $\sin{\alpha} = \sqrt{1 - \cos^2{\alpha}}$. Подставляя найденное значение $\cos{\alpha}$, находим:

$$\sin{\alpha} = \sqrt{1 - \left(-\frac{21}{40}\right)^2} = \sqrt{\frac{1199}{1600}} \approx 0.869$$

Ответ: $\sin{\alpha} \approx 0.869$.