Question

Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM=9 и MB=12. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку С, пересекает прямую AB в точке D. Найдите CD.

Answer 1

∠ACD =∪AC/2 =∠ABC (угол между касательной и хордой)

△ACD~△CBD (по двум углам, ∠D - общий)

AC/CB =CD/BD =AD/CD

AC/CB =AM/MB =9/12 =3/4 (по теореме о биссектрисе)

BD=4/3 CD, AD=3/4 CD

BD-AD=AB => 4/3 CD -3/4 CD =21 <=> CD=21*12/7 =36

Или

∠ACD =∪AC/2 =∠B =>

∠DCM =∠ACD+∠C/2 =∠B+∠C/2 =∠DMC

△CDM - равнобедренный, DC=DM

Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

DC^2 =DB*DA

DA=DM-AM, DB=DM+MB

DC^2 =(DC+MB)(DC-AM) <=>

DC^2 =DC^2 +MB*DC -AM*DC -AM*MB <=>

DC=AM*MB/(MB-AM) =9*12/(12-9) =36

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами биссектрисы треугольника.

По условию, биссектриса CM делит сторону AB на отрезки AM = 9 и MB = 12. Обозначим точку пересечения биссектрисы с описанной окружностью треугольника ABC как P.

Так как AP и BP являются радиусами описанной окружности, они равны друг другу: AP = BP.

Из свойств биссектрисы можно сделать следующее наблюдение: отношение длин отрезков AB и CM равно отношению длин отрезков AM и MB:

AB/CM = AM/MB.

Подставим известные значения в это уравнение:

AB/CM = 9/12.

Упростим:

AB/CM = 3/4.

Так как отрезок AM равен 9, то AB = AM + MB = 9 + 12 = 21.

Теперь мы можем записать новое уравнение:

21/CM = 3/4.

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 4CM:

21 * 4CM = 3 * CM.

84CM = 3CM.

Вычитаем 3CM из обеих частей уравнения:

81CM = 0.

Делаем вывод, что CM = 0.

Это означает, что точка M совпадает с точкой B, и биссектриса CM является продолжением стороны AB.

Теперь рассмотрим касательную к описанной окружности, проходящую через точку C, и её пересечение с прямой AB в точке D.

Поскольку CM продолжение стороны AB, точка D является точкой пересечения биссектрисы CM и касательной к описанной окружности. То есть, точка D совпадает с точкой P.

Таким образом, CD = PD.

Нам известно, что AP = BP. Поскольку D совпадает с P, AD = BD.

Теперь у нас есть равнобедренный треугольник ADC, в котором AD = BD.

Для равнобедренного треугольника известно, что биссектриса угла, проведенная из вершины, делит противоположную сторону пополам.

Следовательно, CD = BD/2.

Так как AD = BD, мы можем записать:

CD = AD/2.

Таким образом, CD равно половине длины стороны AD.

В итоге, чтобы найти CD, необходимо найти длину