Question

Докажите, что расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до меньшего основания меньше, чем до большего.

Answer 1

Пусть в трапеции точка тока О это точка пересечения диагоналей .

У нас получится два подобных треугольника с вершиной О ,  основания у них совпадают с основаниями в трапеции .

 Эти треугольники подобные по трем углам ,только верхний треугольник меньший, а значит и его высота меньше, а высота здесь  и есть расстояние до соответствующего основания.Доказали

Answer 2

Рассмотрим трапецию ABCD, где AB и CD являются основаниями, а AD и BC — боковыми сторонами. Пусть точка пересечения диагоналей находится на отрезке MN, где M и N — середины сторон AD и BC соответственно. Тогда, чтобы доказать, что расстояние от этой точки до меньшего основания (например, AB) меньше, чем до большего (CD), необходимо показать, что отрезок MP (где P — точка пересечения диагоналей с AB) меньше, чем отрезок NQ (где Q — точка пересечения диагоналей с CD).

Рассмотрим треугольники AMP и CNQ. Они имеют одинаковые углы AMP и CNQ, поскольку они соответствуют вершинам трапеции ABCD. Кроме того, они имеют общую боковую сторону MN. Значит, эти треугольники подобны. Из этого следует, что отношение длин MP и NQ равно отношению длин AM и CN:

MP/NQ = AM/CN

Но AM = CN, поскольку они являются боковыми сторонами трапеции ABCD, а значит, MP < NQ. Таким образом, расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания меньше, чем до большего, что и требовалось доказать.