Question

Биссектрисы углов А и В треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите угол АМВ если угол А + угол В=156° СРОЧНО ПОЖАЛУЙСТА!!!!

Answer 1

Решение на фото. Удачи)

Answer 2

Пусть $\angle BAM = \angle CAM = \alpha$, а $\angle CBM = \angle ABM = \beta$. Тогда известно, что $\angle A + \angle B = 156^\circ$, а также:

$\angle AMB = 180^\circ - (\angle BAM + \angle CBM) = 180^\circ - (\alpha + \beta)$

По свойству биссектрисы:

$\frac{BM}{CM} = \frac{AB}{AC} = \frac{\sin \angle B}{\sin \angle A} = \frac{\sin \beta}{\sin \alpha}$

Учитывая, что $BM + CM = BC$, имеем:

$BM = \frac{BC}{1 + \frac{\sin \beta}{\sin \alpha}} \qquad CM = \frac{BC}{1 + \frac{\sin \alpha}{\sin \beta}}$

Из теоремы синусов для треугольников $ABM$ и $ACM$:

$AM = \frac{BM \cdot \sin \alpha}{\sin (\alpha + \beta)} \qquad VM = \frac{CM \cdot \sin \beta}{\sin (\alpha + \beta)}$

Тогда:

$\tan \angle AMV = \frac{AM + VM}{BM} = \frac{\frac{BM \cdot (\sin \alpha + \sin \beta)}{\sin (\alpha + \beta)}}{\frac{BC}{1 + \frac{\sin \beta}{\sin \alpha}}} = \frac{\sin \alpha + \sin \beta}{\sin \frac{\alpha + \beta}{2}} \cdot \frac{1 + \frac{\sin \beta}{\sin \alpha}}{BC}$

Используя формулу для синуса суммы углов, получаем:

$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$

Из свойств биссектрисы:

$\frac{AB}{AC} = \frac{BM}{CM} = \frac{\sin \beta}{\sin \alpha} \Rightarrow BC = \frac{AB \cdot \sin \alpha}{\sin (\alpha + \beta)} + \frac{AC \cdot \sin \beta}{\sin (\alpha + \beta)} = \frac{2AB \cdot \sin \alpha \cdot \sin \beta}{\sin (\alpha + \beta)}$

Таким образом, получаем:

$\tan \angle AMV = \frac{2 \cos \frac{\alpha - \beta}{2}}{\sin \frac{\alpha + \beta}{2}}$

Обратите внимание, что $\angle AMV$ и $\angle AMB$ являются смежными, и их сумма равна $180^\circ$. Следовательно:

$\tan \angle AMB = \tan (180^\circ - \angle AMV) = -\tan \angle AMV = -\frac{2 \cos \frac{\alpha - \beta}{2}}{\sin \frac{\alpha + \beta}{2}}$