Question

1. Из вершины B в треугольнике ABC проведены высота BH и биссектриса BD. Найдите угол между высотой BH и биссектрисой BD, если углы BAC и BCA равны 20 градусов и 60 градусов соответственно. 2. В равнобедренном треугольнике с основанием 10 см и углом 120 градусов найдите высоту, проведенную к боковой стороне.

Answer 1

Смотри решение на фото

Answer 2

1. Обозначим точки пересечения высоты BH и биссектрисы BD с противоположной стороной AC как M и N соответственно. Тогда треугольник ABM прямоугольный, так как угол BMA равен 90 градусов (как угол между стороной AB и высотой BM), а угол AMB равен 70 градусов (20 градусов + 50 градусов, где 50 градусов – угол между сторонами AB и BC). Аналогично, треугольник ABD также является прямоугольным, с углом DAB равным 40 градусов (20 градусов + 20 градусов) и углом ADB равным 70 градусов (угол между сторонами AB и BC).

Так как BD является биссектрисой угла ABC, угол CBD также равен 20 градусов, а угол BDC равен 80 градусов (60 градусов + 20 градусов). Теперь рассмотрим треугольник BDN: угол BND равен 90 градусов (как угол между сторонами BD и BN), угол NBD равен 40 градусов (20 градусов + 20 градусов), а значит угол NDB равен 50 градусов (угол между сторонами BD и BC).

Таким образом, мы нашли два угла треугольника BDN: угол BND равен 90 градусов, а угол NDB равен 50 градусов. Значит, угол между высотой BH и биссектрисой BD равен 40 градусов (угол BDN – угол ABD).

Ответ: 40 градусов.

2. Обозначим равнобедренный треугольник ABC с основанием AC = 10 см и углом CAB = 120 градусов. Пусть BD – высота, опущенная на боковую сторону BC, а точка пересечения BD и AC обозначена как E.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то угол BAC также равен 120 градусов, а значит угол ABC и угол ACB равны по 30 градусов каждый (сумма углов треугольника равна 180 градусов).

Рассмотрим треугольник BDE: угол BDE равен 90 градусов (как угол меж