Question

Основанием прямой призмы служит треугольник со сторонами 10, 10 и 12. Через большую сторону нижнего основания и середину противоположного бокового ребра проведена плоскость под углом 30° к плоскости основа- ния. Найдите объем призмы

Answer 1

Так как треугольник основания равнобедренный, то плоский угол между заданной плоскостью и основанием включает в себя высоту h основания и перпендикуляр L из середины противоположного бокового ребра к большей стороне нижнего  основания.

Находим  h =  √(10² - (12/2)²) = √(100 - 36) = √64 = 8.

Отсюда находим высоту призмы как как удвоенную величину катета против угла в 30 градусов: Н = 2h*tg 30° =  2*8*(√3/3) = 16√3/3.

Площадь основания So = (1/2)12*h = 6*8 = 48.

Получаем ответ: V=SoH = 48*(16√3/3) = 256√3 кв.ед.

Answer 2

Чтобы найти объем прямой призмы, нужно умножить площадь основания на высоту. Найдем эти два значения.

Площадь основания: пусть a, b, c - длины сторон треугольника, на основании которого построена призма. Тогда площадь треугольника можно найти по формуле Герона:

s = (a + b + c) / 2 S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))

В нашем случае: s = (10 + 10 + 12) / 2 = 16 S = √(16(16-10)(16-10)(16-12)) = √(1666*4) = 48

Высота призмы: пусть h - высота призмы, то есть расстояние между основаниями. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, половиной основания и боковым ребром призмы:

Катеты треугольника равны 6 и 12/2 = 6,5 (половина основания). Гипотенуза равна высоте h. Из теоремы Пифагора получаем:

h² = 6² + 6,5² h² = 72,25 h = √72,25 h = 8,5

Теперь осталось найти точку пересечения плоскости и бокового ребра призмы, чтобы найти высоту сечения, которое нужно вычесть из высоты призмы.

Проведем перпендикуляр из точки пересечения плоскости и бокового ребра к основанию призмы:

Мы получили два прямоугольных треугольника, сходные с треугольником основания призмы (они равны друг другу и подобны треугольнику основания). Поэтому мы можем выразить высоту сечения через высоту призмы h:

h' = h - 6/tg(30°)

где 6 - длина половины бокового ребра призмы. Подставляем числа:

h' = 8,5 - 6/√3 h' = 8,5 - 2√3

Теперь можем найти объем призмы:

V = S * h' V = 48 * (8,5 - 2√3) V ≈ 269,5

Ответ: объем призмы равен примерно 269,5 кубических единиц.