Question

В треугольнике АВС внешние углы при вершинах А и В равны, а внешний угол при вершине С в два раза меньше его внутреннего угла. Определите, какая из сторон треугольника АВС является наибольшей

Answer 1

Так как внутренний угол С в два раза больше его внешнего угла (а сумма внешнего и внутреннего углов равна 180 градусов), следовательно, угол С равен 120 градусов. Дальше можно не считать - если в треугольнике есть прямой или тупой угол, то против него всегда лежит бОльшая сторона.
Ответ: АВ.

Answer 2

Обозначим внешний угол при вершине А через x, тогда внешний угол при вершине В также будет равен x (по условию задачи), а внутренний угол при вершине С будет равен 2x (по условию задачи).

Так как сумма углов треугольника равна 180 градусов, то из внутреннего угла при вершине С мы можем найти два других внутренних угла:

Угол в вершине А: 180 - 2x Угол в вершине В: 180 - 2x

Для того чтобы определить наибольшую сторону треугольника АВС, нам нужно знать длины сторон. Предположим, что стороны треугольника обозначены как AB, BC и CA.

Известно, что внешний угол при вершине А равен x, поэтому внутренний угол при вершине С будет равен 180 - x. Тогда сумма углов при вершине В (180 - 2x) и углов при вершине С (180 - x) будет равна углу при вершине А (180 - 2x), то есть:

(180 - 2x) + (180 - x) = 180 - 2x

360 - 3x = 180 - 2x

x = 180

Мы получили противоречие, так как в условии задачи говорится, что угол при вершине С меньше угла при вершине А и угла при вершине В. Значит, такой треугольник не существует.