Question

В равнобедренный треугольник АВС с основанием АС вписана окружность сцентром О. Луч СО пересекает сторону АВ в точке К, причем АК = 6, ВК = 12. Найти периметр треугольника.

Answer 1

Центр вписанной в треугольник окружности лежит на биссектрисе угла. ⇒ СК- биссектриса угла ВСА. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон.  СК по свойству биссектрисы  делит АВ в отношении 6:12=1/2,
 и это отношение равно отношению сторон АС:ВС
ВС=АК+ВК=18
АС:ВС=1:2 
2 АС=18 
 АС=18:2=9 
Периметр равен АВ+ВС+АС=18+18+9=45 

Answer 2

Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, то у него высота $AH$ также является медианой и биссектрисой угла $A$. Это означает, что точка $H$ является серединой отрезка $BC$ и лежит на вписанной окружности.

Также из равенства треугольников $AKH$ и $BKH$ следует, что $AH=BH$. Поэтому $HC=BC-2BH=2AH-BH=AH=HC$. Значит, $HC=HA$. Из этого следует, что треугольник $ACH$ является равнобедренным.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора в треугольниках $AKH$ и $BKH$, чтобы найти длины $AH$ и $BH$:

$AH^2 = AK^2 + KH^2 = 6^2 + r^2$ $BH^2 = BK^2 + KH^2 = 12^2 + r^2$

где $r$ - радиус вписанной окружности.

Поскольку $AH=BH$, мы можем приравнять эти выражения и решить относительно $r$:

$6^2 + r^2 = 12^2 + r^2$ $6^2 = 12^2$ $6=12$

Это противоречие означает, что условия задачи невозможны, и треугольник $ABC$ не существует.

Ответ: треугольник не существует.