Question

точка дотику вписаного кола ділить гіпотенузу на відрізки, один з яких на 14 см більший за інший. Знайти площу трикутника, якщо радіус вписаного кола дорівнює 4 см

Answer 1

Прямокутник трикутник АВС, ∠С=90°, точки дотику : на АВ позначимо Н, на ВС позначимо К, на АС позначимо Р. Назвимо рівні між собою відрізки: ВН=ВК, СК=СР, АР=АН.
Нехай ВН=х, ВК=х.
СК=СР=4 ,
АН=АР=х+14.
Запишимо довжини сторін ΔАВС. АВ=2х+14;ВС=х+4; АС=х+18.
За теоремою Піфагора (2х+14)²=(х+4)²+(х+18)²,
4х²+56х+196=х²+8х+16+х²+36х+324,
2х²+12х-144=0,
х²+6х-72=0,
х=6,
ВС=х+4=6+4=10 см,
АС=х+18=6+18=24 см.
S=0,5·10·24=120 см².
Відповідь: 120 см² 

Answer 2

Нехай гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює $c$, а катети дорівнюють $a$ та $b$. За теоремою Піфагора маємо $a^2+b^2=c^2$.

Оскільки точка дотику вписаного кола ділить гіпотенузу на дві ділянки, то нехай $x$ буде довжиною меншої ділянки, тоді інша ділянка має довжину $x+14$.

Згідно з теоремою про вписані кути, площа прямокутного трикутника може бути виражена як добуток півпериметру трикутника і радіуса вписаного кола: $S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}(a+b+c)r$.

Ми знаємо радіус вписаного кола $r = 4$ см, а також, що гіпотенузу ділять на дві ділянки у пропорції $x:(x+14)$. З цього можна записати, що $a = \frac{x}{\sqrt{2}}$ та $b = \frac{x+14}{\sqrt{2}}$. Також маємо $c = x + 14 + \sqrt{2}x$ за теоремою Піфагора.

Тоді, підставляючи в формулу для площі, маємо:

$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}(\frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{x+14}{\sqrt{2}}+x+14)r = \frac{1}{4}(2x+14+\sqrt{2}(x+14)+2\sqrt{2}x)r$

$S = \frac{1}{4}(2x+14+\sqrt{2}(x+14)+2\sqrt{2}x) \cdot 4 = (2x+14+\sqrt{2}(x+14)+2\sqrt{2}x)$

$S = (4+3\sqrt{2})x + (14+2\sqrt{2})$

Залишилося знайти довжину меншої ділянки $x$. Використовуючи співвідношення між ділянками гіпотенузи, маємо:

$\frac{x}{x+14} = \frac{r}{c-r}$

Підставляючи відомі значення, маємо:

$\frac{x}{x+14} = \frac{4}{x+14+\sqrt{2}x-4}$

$