Question

Докажите,что биссектрисы равностороннего треугольника равны.

Answer 1

Равнобедренного может? Если да , то вот .
В равнобедренном треугольнике биссектрисы, проведённые к боковым сторонам, равны.
Доказательство: Пусть ABC - равнобедренный треугольник (AC = BC), AK и BL - его биссектрисы. Треугольники AKB и ALB равны по второму признаку равенства треугольников. У них сторона AB общая, углы LAB и KBA равны как углы при основании равнобедренного треугольника, а углы LBA и KAB равны как половины углов при основании равнобедренного треугольника. Так как треугольники равны, их стороны AK и LB - биссектрисы треугольника ABC - равны. Теорема доказана.
Теорема d3. В равнобедренном треугольнике высоты, опущенные к боковым сторонам, равны.
Доказательство: Пусть ABC - равнобедренный треугольник (AC = BC), AK и BL - его высоты. Тогда углы ABL и KAB равны, так как углы ALB и AKB прямые, а углы LAB и ABK равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Следовательно, треугольники ALB и AKB равны по второму признаку равенства треугольников: у них общая сторона AB, углы KAB и LBA равны по вышесказанному, а углы LAB и KBA равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Если треугольники равны, их стороны AK и BL тоже равны. Что и требовалось доказать.

Answer 2

Рассмотрим равносторонний треугольник ABC с сторонами AB = BC = AC.

Пусть BD и BE — биссектрисы углов ABC и ACB соответственно. Нам нужно доказать, что BD = BE.

Пусть точка D лежит на стороне AC, а точка E лежит на стороне AB. Тогда угол ABC равен углу ACB, и мы можем записать следующее:

∠ABD = ∠CBD (по определению биссектрисы) ∠AEB = ∠CEB (по определению биссектрисы) ∠ABC = ∠ACB (так как треугольник ABC равносторонний)

Мы также знаем, что сумма углов треугольника равна 180 градусам, поэтому:

∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180 градусов 2∠ABC + ∠BAC = 180 градусов (так как ∠ABC = ∠ACB) 3∠ABC = 180 градусов - ∠BAC ∠ABC = (180 градусов - ∠BAC) / 3

Теперь мы можем использовать теорему синусов в треугольниках ABD и AEB, чтобы выразить BD и BE через углы и стороны треугольника ABC:

BD / AD = sin(∠ABD) / sin(∠ADB) = sin(∠ACB) / sin(∠ABC) BE / AE = sin(∠AEB) / sin(∠AEB) = sin(∠ACB) / sin(∠ABC)

Заметим, что угол ∠ABC в обеих формулах встречается в знаменателе и равен одному и тому же числу. Подставив выражение для ∠ABC из предыдущего шага, мы получим:

BD / AD = sin(∠ACB) / sin((180 градусов - ∠BAC) / 3) BE / AE = sin(∠ACB) / sin((180 градусов - ∠BAC) / 3)

Заметим, что sin((180 градусов - ∠BAC) / 3) можно записать как sin(∠BAC / 3), так как 180 градусов - ∠BAC = 2∠BAC. Подставим это выражение и заметим, что sin(∠ACB) / sin(∠BAC / 3) равно одному и тому же числу для обеих биссектрис BD и BE. Таким образом, BD / AD = BE / AE, что означает, что BD и BE равны. Мы доказали, что биссектрисы углов равностороннего треуголь