Question

В прямоугольном треугольнике проведены три средние линии. Найдите стороны и площадь этого треугольника, если площадь треугольника, образованного средними линиями, равна 60 см^2, а тангенс одного из острых углов равен 8/15.

Answer 1

Треугольник, образованный средними линиями подобен исходному( например, по трем углам, т.к. его стороны параллельны сторонам исходного, или по отношению сторон, т.к. средние линии равны исходным деленным на 2). Коэффициент подобия 2, так, что площадь исходного в четыре раза больше и равна 240 см.кв.
В прямоугольном треугольнике площадь равна половине произведения катетов. Пусть катеты а и в.
Имеем: ав=480  а=в *8/15.
Значит а*а=480*15/8=900.  Значит а=30 в= 16  .
Квадрат гипотенузы равен 4*(225+64)=4*289
Гипотенуза равна 2*17=34
Ответ: Площадь треугольника равна 240 кв. сантиметров, а стороны
30,16 и 34 см

 

Answer 2

Давайте обозначим стороны прямоугольного треугольника как a, b и c, где c - гипотенуза, а a и b - катеты. Также обозначим средние линии как m₁, m₂ и m₃, и площадь треугольника, образованного средними линиями, как S'.

Известно, что площадь треугольника, образованного средними линиями, равна половине площади исходного треугольника. То есть S' = 1/2 * S, где S - площадь исходного треугольника.

Мы знаем, что S' = 60 см². Подставим это значение в уравнение:

60 = 1/2 * S

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от деления:

120 = S

Теперь у нас есть площадь исходного треугольника S, и нам нужно найти его стороны a, b и c.

Также нам дано, что тангенс одного из острых углов равен 8/15. Пусть этот угол будет α. Тогда мы можем записать:

tan(α) = 8/15

Чтобы найти стороны треугольника, мы можем использовать следующие формулы:

m₁ = 1/2 * b m₂ = 1/2 * c m₃ = 1/2 * √(a² + b²)

Так как m₁, m₂ и m₃ - средние линии, они также являются медианами. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки, равные 2:1. Это означает, что m₂ = 2 * m₁.

Подставим значения средних линий в уравнения и решим их:

m₁ = 1/2 * b m₂ = 2 * m₁ = b m₃ = 1/2 * √(a² + b²)

Теперь мы можем записать выражение для площади S' через стороны a, b и c:

S' = 1/2 * m₁ * m₂ * sin(α)

Подставим значения средних линий и угла в уравнение и решим его:

60 = 1/2 * (1/2 * b) * b * sin(α) 120 = 1/4 * b² * sin(α)

Теперь мы имеем два уравнения:

120 = S 120 = 1/4 * b² * sin(α)

Мы знаем, что S = a * b / 2 (площад