Question

Докажите, что если отрезки любого выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма

Answer 1

Пусть ABCD - выпуклый четырёхугольник, E, F, G и H - середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно. Проведём диагональ AC. Отрезки EF и GH будут средними линиями треугольников ABC и ADC. По теореме о средней линии треугольника, эти отрезки параллельны AC, значит параллельны и друг другу. АНанлогично можно доказать параллельность отрезков EH и FG. Получается, что противоположные строны четырёхугольника EFGH параллельны, и УАПР - параллелограмм 

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, давайте рассмотрим произвольный выпуклый четырехугольник ABCD и покажем, что его стороны могут быть сторонами параллелограмма.

Пусть AB и CD - стороны четырехугольника, а AD и BC - диагонали. Так как мы хотим, чтобы стороны четырехугольника были сторонами параллелограмма, нам нужно доказать, что AB || CD и AD || BC.

Для начала рассмотрим отрезки AB и CD. Если AB и CD являются сторонами параллелограмма, то они должны быть параллельными. Допустим, AB и CD не параллельны. Тогда существует точка E на стороне CD такая, что прямая AE пересекает сторону BC.

Теперь рассмотрим треугольники ABE и CDE. Так как AB || CD, то угол EAB равен углу EDC (они соответственные углы при параллельных прямых). Также у нас есть угол ABE, который равен углу CDE (они вертикальные углы). Поэтому углы ABE и EDC равны.

Из этих равенств следует, что треугольники ABE и CDE подобны (по двум углам). Так как они подобны, отношение длин их сторон должно быть одинаковым.

Рассмотрим отношение длин отрезков AE и CE. Если AB и CD - стороны параллелограмма, то AE и CE - его диагонали, и они должны быть равными. Поэтому AE = CE.

Теперь рассмотрим отношение длин отрезков AD и BC. Если AD и BC - диагонали параллелограмма, то они должны быть равными. Поэтому AD = BC.

Таким образом, получаем, что AE = CE и AD = BC. Но это означает, что треугольник AED равен треугольнику CEB по двум сторонам и углу между ними. Это возможно только в случае, когда у этих треугольников все стороны равны и они подобны.

Таким образом, мы получили, что треугольники ABE и CDE подобны и равны. Это означает, что углы AEB и CED равны. Но это невозможно, так как прямая AE пересекает сторону BC.

Таким образом, мы пришли к противоречию