Question

Через точку А(1,-1,1) проведена прямая, параллельная плоскости x+y-z+3=0 и пересекающая прямую . Найти уравнение прямой.

Answer 1

Через точку А проведём плоскость, параллельную заданной.

Общее уравнение заданной плоскости имеет вид:

Ax+By+Cz+D=0                          (2)

Все параллельные плоскости имеют коллинеарные нормальные векторы. Поэтому для построения параллельной к (2) плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) нужно взять в качестве нормального вектора искомой плоскости, нормальный вектор n=(A, B, C) плоскости (2). Далее нужно найти такое значение D, при котором точка M0(x0, y0, z0) удовлетворяла уравнению плоскости (2):

Ax0+By0+Cz0+D=0. (3)

Решим (3) относительно D:

D=−(Ax0+By0+Cz0) (4)

Из уравнения (1) запишем координаты нормального вектора :

A= 1 , B= 1 , C= −1 .

Подставляя координаты точки А и координаты нормального вектора в (4), получим:

D=−(Ax0+By0+Cz0)=− 1  ·  1  +  ( −1)  ·  1  +  1  · (−1) = 1

Подставляя значения A, B, C, D в (2), получим уравнение плоскости, проходящей через точку А(1, -1, 1) и параллельной плоскости (1):

 x+ y −  z+ 1 =0.

Теперь найдём точку пересечения новой плоскости с заданной прямой.

Надо решить систему, разложив уравнение прямой:

{x+ y −  z+ 1 =0,

{x = 2y - 6,

{z = -y + 3.

Подставим в первое уравнение x и z:

2y - 6 + y + y - 3 + 1 = 0,

4y = 8,. y = 8/4 = 2.

x = 2*2 - 6 = -2,

z = -2 + 3 = 1.

Получили уравнение точки Р, лежащей в плоскости, параллельной заданной: Р(-2; 2; 1). Вектор АР(-3; 3; 0).

Воспользуемся формулой канонического уравнения прямой:

x - xa xb - xa  =   y - ya yb - ya  =   z - za zb - za  

Так как: zb - za = 0, то уравнение прямой в каноническом виде записать нельзя.

Составим параметрическое уравнение прямой

Воспользуемся формулой параметрического уравнения прямой:

x = l t + x1

y = m t + y1

z = n t + z1

 где:

{l; m; n} - направляющий вектор прямой, в качестве которого можно взять вектор AB;

(x1, y1, z1) - координаты точки лежащей на прямой, в качестве которых можно взять координаты точки A.

AB = {xb - xa; yb - ya; zb - za} = {-2 - 1; 2 - (-1); 1 - 1} = {-3; 3; 0}

В итоге получено параметрическое уравнение прямой:

x = - 3t + 1

y = 3t - 1

x = 1.

Answer 2

Для нахождения уравнения прямой, параллельной плоскости и пересекающей данную прямую, мы должны использовать направляющий вектор, который параллелен плоскости и прямую, а также точку, через которую проходит прямая.

Направляющий вектор плоскости x + y - z + 3 = 0 можно найти, взяв коэффициенты перед переменными x, y и z. В данном случае направляющий вектор будет (1, 1, -1).

Прямая, параллельная плоскости, будет иметь такой же направляющий вектор. Пусть (x, y, z) - произвольная точка на этой прямой, и (x₀, y₀, z₀) - координаты точки A(1, -1, 1). Тогда мы можем записать уравнение прямой в параметрической форме:

x = x₀ + t y = y₀ + t z = z₀ - t

где t - параметр, определяющий положение точки на прямой.

Таким образом, уравнение прямой будет иметь вид:

x = 1 + t y = -1 + t z = 1 - t

Вот уравнение искомой прямой, параллельной плоскости x + y - z + 3 = 0 и пересекающей прямую.