Question

Точка внутри двугранного угла в 60 градусов, удаленная от его граней соответсвенно на 5 и 2. Найдите расстояние от этой точки до ребра двугранного угла ( с рисунком и подробным решением пожалуйста)

Answer 1

Ответ:

Искомое расстояние равно 2√13 см.

Объяснение:

Определение: Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру (то есть перпендикулярной к обеим плоскостям).

Пусть дан двугранный угол и точка Q внутри него.

Расстояния от точки Q до граней двугранного угла (перпендикуляры QR и QP) равны QR=2см и QH= 5см.

Угол RPH = 60° по определению.

Рассмотрим прямоугольные треугольники QRP и QHP с общей гипотенузой QP - искомым расстоянием от точки Q до ребра АВ. Пусть в треугольнике QRP угол RQP= x°, тогда в треугольнике QНP  угол HQP = (60-x)°.

Тогда из треугольника QRP гипотенуза QP = 2/Sinx, а из треугольника QHP QP = 5/Sin(60-x).

2/Sinx = 5/Sin(60-x) =>  Sin(60-x)/Sinx = 5/2.

По формуле приведения

Sin(60-x) = sin60*cosx - cos60*sinx = (√3/2)*cosx - (1/2)*sinx.

Тогда ((√3/2)*cosx - (1/2)*sinx)/sinx = (√3/2)*ctgx - 1/2) = 5/2.  =>

ctgx = 3*2/√3 = 2√3. Из треугольника QRP:

Ctgx = PR/QR (отношение прилежащего катета к противолежащему).  =>  PR = QR*ctgx = 2*2√3 = 4√3.

По Пифагору QP = √(QR²+PR²) = √(4+48) = √52 = 2√13 см.

Ответ: QP = 2√13 см.

Answer 2

Для решения данной задачи нам понадобятся геометрические конструкции и теоремы. Начнем с построения.

1. Нарисуем двугранный угол с вершиной O.
2. Проведем две грани угла, AB и AC, так, чтобы угол BAC был 60 градусов.
3. Обозначим точку, удаленную от грани AB на расстояние 5, как M.
4. Обозначим точку, удаленную от грани AC на расстояние 2, как N.
5. Проведем линию MN, соединяющую точки M и N.
6. Обозначим середину линии MN как P.

Теперь, когда у нас есть построение, перейдем к решению задачи.

7. Обозначим точку пересечения ребра BC и линии MN как X.

Теперь давайте вспомним некоторые свойства треугольников и применим их.

8. Треугольник BMP — прямоугольный треугольник, так как угол MBP — прямой угол (прямоугольный угол). Ребро BM является гипотенузой, а PM и BP — катетами. Мы знаем, что PM = 2 (так как точка N удалена от грани AC на расстояние 2). Из этого следует, что BP = 5 - 2 = 3.

9. Треугольник CPN — также прямоугольный треугольник, так как угол CPN — прямой угол. Ребро CN является гипотенузой, а PN и CP — катетами. Мы знаем, что PN = 5 (так как точка M удалена от грани AB на расстояние 5). Из этого следует, что CP = 2.

10. Треугольник BCX также прямоугольный треугольник. Ребро BX является гипотенузой, а CX и BC — катетами.

11. Поскольку точка P является серединой линии MN, то BP = PC.

12. Так как треугольник BMP и треугольник CPN являются прямоугольными, и у них равны катеты BP и PC, соответственно, то эти треугольники подобны.

Теперь мы можем использовать подобие треугольников, чтобы найти расстояние от точки X до ребра BC.

13. Отношение соответствующих сторон прямоугольных треугольников равно: