Question

постройте график функции у = − х2 + 4х − 3. Пользуясь графиком, найдите: 1) область значений данной функции; 2) промежуток убывания функции.

Answer 1

У = ax² + bx + c
у = -x² + 4x - 3
Ось параболы
x₀ = -b/(2a) = -4/(2*(-1)) = 2
y₀ = -2² + 4*2 - 3 = 1
Это максимум, поскольку ветви параболы направлены вниз
a = -1 < 0
Область определения
D(f) = (-∞, +∞)
Область значений
E(f) = (-∞, 1]
Таблица точек
x; y
-1.0; -8
-0.5;-5.25
0;-3
0.5;-1.25
1.0;0
1.5;0.75
2.0;1
2.5;0.75
3.0;0
3.5;-1.25
4.0;-3
4.5;-5.25
5.0;-8
-----------------
Область убывания функции
[2;+∞ )

Answer 2

Чтобы построить график функции у = -х^2 + 4х - 3, мы можем использовать методы анализа квадратичных функций.

1. Область значений функции определяется по её графику как множество всех возможных значений функции. Для квадратичной функции у = -х^2 + 4х - 3, область значений будет зависеть от вершины параболы.

Формула для координаты вершины параболы вида у = ax^2 + bx + c: x_вершины = -b / (2a) y_вершины = -D / (4a)

В данном случае, a = -1, b = 4, c = -3. Подставим значения в формулу: x_вершины = -4 / (2*(-1)) = -4 / (-2) = 2 y_вершины = -D / (4*(-1)) = -(-3) / (4*(-1)) = -3 / (-4) = 3/4

Таким образом, вершина параболы имеет координаты (2, 3/4). Область значений будет ограничена значением у на вершине параболы и будет равна (-∞, 3/4].

2. Промежуток убывания функции определяется как интервал значений х, на котором функция убывает. В данном случае, у нашей квадратичной функции убывает на всей числовой оси, так как a = -1 < 0. Таким образом, промежуток убывания функции будет (-∞, +∞).

Ниже представлен график функции у = -х^2 + 4х - 3, где область значений обозначена зеленым цветом, а промежуток убывания - синим цветом.

pythonCopy code
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-10, 10, 400)
y = -x**2 + 4*x - 3

plt.plot(x, y, label='у = -х^2 + 4х - 3')
plt.axhline(3/4, color='green', linestyle='--', label='Область значений')
plt.axhline(0, color='blue', linestyle='--', label='Промежуток убывания')

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()