Question

В прямоугольный треугольник вписан другой треугольник таким образом, что его вершины лежат на серединах сторон исходного треугольника. Как соотносятся площади данных треугольников? Как может измениться соотношение площадей, если исходный треугольник будет не прямоугольным, а произвольным? Заранее спасибо!

Answer 1

Ответ:

Sвпис/Sисх = 1/4.

Объяснение:

Стороны вписанного треугольника являются средними линиями исходного треугольника. Следовательно, треугольники подобны с коэффициентом k= (1/2).

Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. Следовательно, Sвпис/Sисх = k² = 1/4.

Соотношение не изменится и при произвольном исходном треугольнике.

Answer 2

Пусть исходный прямоугольный треугольник имеет стороны a, b и гипотенузу c. Вписанный треугольник будет подобным исходному треугольнику и иметь коэффициент подобия 1/2.

Для прямоугольного треугольника, площадь определяется по формуле S = (1/2) * a * b, где a и b - длины катетов. Таким образом, площадь исходного треугольника будет S_1 = (1/2) * a * b.

Вписанный треугольник будет иметь длины сторон, равные половине длин соответствующих сторон исходного треугольника. То есть, длины сторон вписанного треугольника будут a/2, b/2 и c/2. Площадь вписанного треугольника определяется по формуле S' = (1/2) * (a/2) * (b/2), что равно (1/4) * a * b. Таким образом, площадь вписанного треугольника будет S_2 = (1/4) * S_1.

Итак, соотношение площадей вписанного и исходного треугольников для прямоугольного треугольника будет S_2 : S_1 = (1/4) : (1/2) = 1 : 2.

Если исходный треугольник не является прямоугольным, а произвольным, то соотношение площадей вписанного и исходного треугольников останется таким же: S_2 : S_1 = 1 : 2. Это связано с тем, что вписанный треугольник всегда будет подобным исходному треугольнику и иметь коэффициент подобия 1/2, независимо от формы исходного треугольника.

Таким образом, площадь вписанного треугольника всегда будет составлять половину площади исходного треугольника в обоих случаях.