Question

У прямокутному трикутнику висота,проведена до гіпотинузи,дорівнює 4 см.Проекція катетів на гіпотинузу відносяться як 1:16.Знайдіть ці проекти. Вирішіть будь-ласка

Answer 1

Обозначим проекции катетов на гипотенузу  $h_{a}\; ,\; \; h_{b}$ ,
а высоту через h.Коэффициент пропорциональности - х.
Тогда по теореме
                                    $h^2=h_{a}\cdot h_{b}$
имеем:
              $4^2=x\cdot 16x\\\\16=16x^2\\\\x^2=1\; \; \to \; \; x=\pm 1$

Так как х - коэффициент пропорциональности, то х=+1.
Проекции катетов равны 1 и 16.

Answer 2

Нехай катети прямокутного трикутника будуть позначені як a та b, а гіпотенуза - як c. За властивостями подібних трикутників, проекції катетів на гіпотенузу також утворюють прямокутний трикутник, подібний до вихідного.

За умовою задачі, висота, проведена до гіпотенузи, дорівнює 4 см. Це означає, що площа подібного трикутника, утвореного проекціями катетів на гіпотенузу, дорівнює 4 см².

Площа подібних трикутників відноситься як квадрати відповідних сторін. Тому можемо записати наступну рівність:

(a/16)² + (b/16)² = 4

Розв'яжемо це рівняння для знаходження a та b.

(a/16)² + (b/16)² = 4 a²/256 + b²/256 = 4 a² + b² = 1024

Також відомо, що відношення проекцій катетів на гіпотенузу дорівнює 1:16:

a/b = 1/16

Можемо записати це рівняння у вигляді a = (1/16)b та підставити його у попереднє рівняння:

(1/16b)² + b² = 1024 1/256b² + b² = 1024 1 + 256b⁴ = 1024 256b⁴ = 1023 b⁴ = 1023/256 b = ∛(1023/256)

Отримали значення b. Тепер можемо обчислити a, використовуючи a = (1/16)b:

a = (1/16) * ∛(1023/256)

Таким чином, отримаємо значення проекцій катетів a та b на гіпотенузу.