Question

Биссектрисы углов A и D трапеции ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Докажите, что точка M равноудалена от прямых AB, AD и CD.

Answer 1

Там доказательства- одна строчка
продлим прямые АВ и ДС до пересечения, получим треугольник.
А где лежит центр вписанной окружности? Правильно, на пересеч. биссектрис.  Это по условию т.М.  А как расположен этот центр? Правильно, равноудален от всех сторон треугольника. Что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства того, что точка M равноудалена от прямых AB, AD и CD, мы можем воспользоваться свойствами биссектрисы.

Пусть AM и DM являются биссектрисами углов A и D соответственно. Тогда по определению биссектрисы, углы BAM и MDA равны.

Теперь рассмотрим треугольник ACD. Поскольку AM и DM являются биссектрисами углов A и D, у нас есть следующие равенства углов:

∠BAM = ∠MAD (по определению биссектрисы) ∠ADM = ∠DAM (по определению биссектрисы)

Заметим, что сумма углов треугольника ACD равна 180 градусам:

∠ACD + ∠ADC + ∠DCA = 180°

Разделим это равенство на 2:

∠ACD/2 + ∠ADC/2 + ∠DCA/2 = 90°

Используя равенства углов, получим:

∠BAM + ∠ADM + ∠DAM + ∠DCA/2 = 90°

Поскольку ∠BAM = ∠MAD и ∠ADM = ∠DAM, мы можем переписать это равенство следующим образом:

∠MAD + ∠MAD + ∠DCA/2 = 90°

2∠MAD + ∠DCA/2 = 90°

∠MAD + ∠DCA/2 = 45°

Теперь рассмотрим треугольник AMB. У нас есть:

∠MAB + ∠MBA + ∠BAM = 180° (сумма углов треугольника)

Поскольку ∠BAM = ∠MAD, мы можем переписать это равенство:

∠MAB + ∠MBA + ∠MAD = 180°

Также мы знаем, что ∠MAD + ∠DCA/2 = 45°. Подставим это равенство в предыдущее:

∠MAB + ∠MBA + ∠DCA/2 = 180°

Теперь рассмотрим треугольник AMD. У нас есть:

∠MAD + ∠MDA + ∠ADM = 180° (сумма углов треугольника)

Поскольку ∠ADM = ∠DAM, мы можем переписать это равенство:

∠MAD + ∠MDA + ∠DAM = 180°

Также мы знаем, что ∠MAD + ∠DCA/2 = 45°. Подставим это равенство в предыдущее:

45° + ∠MDA + ∠DAM = 180°