Question

Докажите что биссектрисы равнобедренного треугольника проведенные из углов при основании равны

Answer 1

Доказательство:
        Пусть ABC - равнобедренный треугольник (AC = BC), AK и BL - его биссектрисы.
        Треугольники AKB и ALB равны по второму признаку равенства треугольников. У них сторона AB общая, углы LAB и KBA равны как углы при основании равнобедренного треугольника, а углы LBA и KAB равны как половины углов при основании равнобедренного треугольника.
        Так как треугольники равны, их стороны AK и LB - биссектрисы треугольника ABC - равны. Теорема доказана.

Answer 2

Пусть у нас есть равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = AC. Пусть BD и CE - биссектрисы углов B и C соответственно, где D лежит на AC и E лежит на AB.

Нам нужно доказать, что BD = CE.

Для начала обратим внимание на следующие факты:

1. В треугольнике ABD и треугольнике ACE у нас есть общий угол при вершине A.

2. Так как BD и CE являются биссектрисами, они делят углы B и C пополам, поэтому угол ABD = угол ABE и угол ACE = угол ACD.

Теперь докажем, что треугольники ABD и ACE подобны.

Из факта 1 мы знаем, что у них есть общий угол при вершине A. Кроме того, углы ABD и ABE равны, а углы ACE и ACD равны (факт 2).

Таким образом, треугольники ABD и ACE являются подобными по признаку угол-угол-угол (УУУ).

Так как треугольники ABD и ACE подобны, соответствующие стороны пропорциональны. Поскольку AB = AC (треугольник равнобедренный), то мы можем записать пропорцию:

AB/BD = AC/CE

Поскольку AB = AC, мы можем сократить и получим:

1/BD = 1/CE

Это означает, что BD = CE.

Таким образом, мы доказали, что биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника равны.