Question

Постройте вписанно-описанный (бицентрический) четырехугольник и опишите его свойства.

Answer 1

1) Окружность с центром О, диаметр KP.

2) Точки L, M на полуокружности.

3) Прямая LN||MP (точка N на окружности).

4) Касательные через точки K, L, M, N.

Пересечение касательных, проведенных через соседние точки - вершины вписанно-описанного четырехугольника.

Четырехугольник ABCD описанный по построению (стороны являются касательными к окружности).

∠KOL+∠LOP=180 (смежные углы)

∪LM=∪NP (дуги между параллельными LN и MP)

∠LOM=∠NOP => ∠LOP=∠MON => ∠KOL+∠MON=180

В четырехугольниках AMON, CKOL противолежащие прямые углы (касательная перпендикулярна радиусу), следовательно сумма другой пары углов также равна 180.

∠A+∠MON=180, ∠C+∠KOL=180 => ∠A+∠C=180

В четырехугольнике ABCD сумма противолежащих углов равна 180, следовательно он вписанный.

Четырёхугольник является описанным только тогда, когда суммы его противолежащих сторон равны.

Выпуклый четырёхугольник является вписанным только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180.

Свойства вписанно-описанного четырёхугольника:

a, b, c, d - стороны

S=√(abcd)

R - радиус описанной окружности, r - радиус вписанной окружности, k - расстояние между центрами окружностей.

1/(R+k)^2 +1/(R-k)^2 =1/r^2

Answer 2

Вписанно-описанный (бицентрический) четырехугольник - это четырехугольник, который можно вписать в окружность (все его вершины лежат на окружности) и который может быть описан около окружности (окружность проходит через все его вершины). Такой четырехугольник имеет ряд интересных свойств.

Свойства вписанно-описанного четырехугольника:

1. Центр окружности, вписанной в четырехугольник (центр инсекции диагоналей) и центр окружности, описанной около четырехугольника (центр описанной окружности), совпадают. Это значит, что обе окружности имеют один и тот же центр.

2. Противоположные углы суммируются до 180 градусов. Это означает, что сумма противоположных углов A и C равна 180 градусов, а сумма противоположных углов B и D также равна 180 градусов.

3. Сумма противоположных сторон равна. Это означает, что сумма длин сторон AB и CD равна сумме длин сторон BC и DA.

4. Диагонали четырехугольника пересекаются в точке, которая является центром окружности, описанной вокруг четырехугольника. Также, эта точка является точкой пересечения биссектрис всех углов четырехугольника.

5. Площадь вписанно-описанного четырехугольника может быть вычислена с использованием формулы Брахмагупты: Площадь = √((s - a)(s - b)(s - c)(s - d)), где s - полупериметр четырехугольника (s = (a + b + c + d)/2), а a, b, c, d - длины сторон четырехугольника.

6. Формула для радиуса окружности, вписанной в четырехугольник (r) и радиуса окружности, описанной вокруг четырехугольника (R), может быть записана следующим образом: r = √(((s - a)(s - b)(s - c)(s - d))/s), R = (abcd)/(4∆), где ∆ - площадь четырехугольника.

Это некоторые из основных свойств