Question

Пряма MN, яка паралельна стороні AB трикутника АВС, ділить його сторону АС у відношенні АМ:МС=3:5.Знайдіть відношення периметрів утворених трикутників

Answer 1

Средняя линия треугольника ABC отсекает от него треугольник подобный ему. Пусть AM = 3x и MC = 5x, тогда AC = 3x+5x = 8x.

Отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия треугольников:

Коэффициент подобия: k = 8x/5x = 8/5, следовательно

$\dfrac{P_{ABC}}{P_{MNC}}=k=\dfrac{8}{5}$

Answer 2

Нехай точка M ділить сторону АС у відношенні АМ:МС = 3:5. Тоді можна визначити, що частини сторони АС мають такі довжини:

АМ = (3/8) * AC МС = (5/8) * AC

За умовою, пряма MN паралельна стороні AB, тому трикутники АBM та МNC подібні до трикутника ABC згідно зі співвідношеннями довжин сторін. З цього випливає, що прямокутні трикутники АBM та МNC також подібні між собою.

Відповідно, співвідношення довжин сторін цих прямокутних трикутників дорівнює співвідношенню довжин катетів:

AB/AM = BC/MC

Підставляючи значення довжин сторін, отримуємо:

AB/[(3/8) * AC] = BC/[(5/8) * AC]

Скорочуючи спільний множник 8/AC, отримуємо:

AB = (3/5) * BC

Отже, співвідношення довжин сторін AB та BC дорівнює 3:5.

Тепер розглянемо периметри утворених трикутників.

Периметр трикутника ABC = AB + BC + AC

Периметр трикутника АBM = AB + BM + AM Замінюючи значення AB та AM, отримуємо: Периметр трикутника АBM = (3/5) * BC + BM + (3/8) * AC

Периметр трикутника МNC = MC + NC + MN Замінюючи значення MC та MN, отримуємо: Периметр трикутника МNC = (5/8) * AC + NC + (5/8) * AC

Співвідношення периметрів цих трикутників буде:

(Периметр трикутника АBM) / (Периметр трикутника МNC) = [(3/5) * BC + BM + (3/8) * AC] / [(5/8) * AC + NC + (5/8) * AC]

Звести це співвідношення до простішого вигляду можна після вказання додаткових відомостей про величини відр