Question

середины сторон правильного пятиугольника последовательно соединены отрезками. Доказать, что полученный пятиугольник правильный.

Answer 1

Рассмотрим внешние получившиеся треугольники. Они будут все равны между собой по двум сторонам и углу между ними

Угол между сторонами - это угол начального правильного пятиугольникам. а раз начальный пятиугольник правильный, то все его углы равны. Каждая сторона, прилегающая к этому углу равна половине длины стороны начального правильного пятиугольника. Значит, все эти стороны тоже равны между собой. Получается, что все внешние треугольники равны. У равных треугольников равны соответствующие элементы. в данном случае нас интересуют их третьи стороны - те, что образовали новый пятиугольник. раз они равны, то пятиугольник прявильный, чтд

Answer 2

Чтобы доказать, что полученный пятиугольник является правильным, необходимо показать, что все его стороны равны и все его углы равны.

Рассмотрим правильный пятиугольник ABCDE. Пусть M, N, P, Q и R - середины сторон AB, BC, CD, DE и EA соответственно.

1. Докажем, что стороны полученного пятиугольника MPNQR равны между собой.

   Поскольку M и N - середины сторон AB и BC соответственно, то MN || AC (параллельным перпендикулярным теорема). Аналогично, NP || BD, PQ || CE, QR || AD и RM || BE. Так как в правильном пятиугольнике все стороны равны, то AC = BD = CE = AD = BE. Значит, MN = NP = PQ = QR = RM, то есть все стороны пятиугольника MPNQR равны между собой.

2. Докажем, что все углы полученного пятиугольника MPNQR равны между собой.

   Рассмотрим угол MPN. Поскольку MN || AC, то угол MPN равен углу NAC (параллельные линии и пересекающиеся между собой прямые). Аналогично, угол NPQ равен углу QBD, угол PQR равен углу RCE, угол QRM равен углу AMD и угол RMN равен углу BEN. В правильном пятиугольнике все углы равны, поэтому NAC = QBD = RCE = AMD = BEN. Значит, все углы пятиугольника MPNQR равны между собой.

Таким образом, полученный пятиугольник MPNQR имеет все стороны равными и все углы равными, что делает его правильным пятиугольником.