Question

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором точка Е- середина стороны CD. Докажите,что если площадь треугольника ABE равна половине площади четырёхугольника ABCD, то сторона AD будет параллельна стороне BC.

Answer 1

Решение

Пусть D1 - образ вершины D при симметрии относительно точки P. Тогда

S(D1PB) + S(CPB) = S(DPA) + S(CPB) = S(CPD) = S(D1PC).

Поэтому точка B  лежит на отрезке D1C . Поскольку D1B  || AD , то BC  || AD .

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся площадями треугольников.

Пусть S1 обозначает площадь треугольника ABE, а S2 - площадь четырёхугольника ABCD.

По условию задачи, площадь треугольника ABE равна половине площади четырёхугольника ABCD: S1 = 0.5 * S2

Используя свойства серединного перпендикуляра, можно заметить, что треугольники ABE и CDE подобны, так как сторона AE является общей и две другие стороны пропорциональны. Поэтому их площади тоже будут пропорциональны: S1/S2 = (площадь ABE)/(площадь ABCD) = (площадь CDE)/(площадь ABCD) = 0.5

Так как площади треугольников ABE и CDE пропорциональны, то их высоты, опущенные на общую сторону CD, также пропорциональны. То есть, высота, опущенная из вершины A на сторону CD, равна половине высоты, опущенной из вершины C на эту же сторону: h1 = 0.5 * h2

Предположим, что сторона AD не параллельна стороне BC. Тогда высоты, опущенные из вершин B и D на сторону AD, будут неравны. Обозначим эти высоты через h3 и h4 соответственно. Поскольку сторона AD не параллельна стороне BC, высоты h3 и h4 также не будут пропорциональны.

Вспомним, что площадь треугольника можно выразить через основание и высоту: S = (основание * высота)/2

Применим это выражение к треугольнику ABE и треугольнику ACD, имея в виду, что их площади пропорциональны: S1 = (AB * h1)/2 S2 = (AC * h2)/2

Также применим это выражение к треугольнику ACD и треугольнику ABC: S2 = (AD * h3)/2 S2 = (BC * h4)/2

Подставим эти выражения в изначальное равенство, связывающее площади треугольника ABE и четырёхугольника ABCD: S1 = 0.5 * S2 (AB * h1