Question

Четырёхугольник ABCD,диагонали которого взаимно перпендикулярны,вписан в окружность.Перпендикуляры,опущенные на сторону AD из вершин B и C,пересекают диагонали AC и BD в точках E и F соответственно.Известно,что BC=1.Найти EF

Answer 1

Сделаем рисунок.
Пусть перпендикуляр из В будет ВМ, из С - СН
Перпендикуляры к одной прямой параллельны,  следовательно,
ВМ и СН - параллельны.
ВF и ЕС при них секущие, и
∠ FBE=∠CFB ( на рисунке это углы ∠ 1=∠2),
 и  FCE=BEC (∠ 3=∠ 4  рисунка) как накрестлежащие.
Рассмотрим треугольники ВМD и ВОЕ.
Они подобны, так как оба прямоугольные по условию и имеют общий  угол DBM (∠ 1 рисунка).
Следовательно, и их вторые острые углы равны.
∠ 5 = ∠ 3 треугольника ВОЕ
Угол ВСА и угол ВDА (∠ 6 и ∠ 5)  вписанные и опираются на одну и ту же дугу, которая стягивается хордой АВ. 
Следовательно, они равны (∠6 = ∠ 5). 
Угол ВDМ совпадает с углом ВDА и равен ВЕС (∠ 5 = ∠3 доказано выше). ⇒  ∠BDМ=∠ACH (∠5=∠ 4= ∠3 )
. Т.к.  угол ВСА=BDA, то угол ЕСB=ECF (∠5=∠ 6=∠ 4).
Рассмотрим Δ АСН и Δ СОF
Они прямоугольные, имеют общий угол АСН и потому подобны.
Отсюда следует  равенство вторых острых углов:
Угол САН=углу СFO (∠ 7 = ∠2).
Вписанный ∠7 опирается на ту же дугу CD, что вписанный СBD (∠ 8 ) треугольника СВD, следовательно,  угол СAH=углу СBF (∠7 = ∠8). 
Но ∠ 7= ∠2=∠ 1.⇒
∠1=∠ 8. ⇒ ∠ 8=∠2
В  Δ ВСF углы при основании ВF равны,  СО ⊥ BF и делит ∠ ВСF на два равных и является биссектрисой и  высотой Δ ВСF.
Следовательно, Δ ВСF - равнобедренный. 
Но ЕО в треугольнике ВЕF - также высота и медиана,  и ВО=ОF.
Этот треугольник также равнобедренный.  ∠ 9=∠2= ∠ 1, 
а ∠ 3= ∠10, т.к. ЕО высота и биссектриса равнобедренного треугольинка ВЕF
Таким же образом треугольник ВСЕ и треугольник ЕFС равнобедренные и равны между собой. 
В результате всех этих доказательств мы имеем четырехугольник, в котором все   стороны равны, и этого достаточно для того, чтобы утверждать равенство    ЕF=ВС=1
( Даны 2 рисунка - один с решением, другой - без) 
------------
[email protected]

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами перпендикуляров в четырёхугольнике и свойствами вписанного четырёхугольника.

Поскольку диагонали взаимно перпендикулярны, то AC и BD делят друг друга пополам. То есть, AC = BD.

Также из свойств вписанного четырёхугольника известно, что противоположные углы суммируются до 180 градусов. То есть, угол ABC + угол CDA = 180 градусов.

Рассмотрим треугольник ABC. Из условия задачи известно, что BC = 1. Поскольку противоположные стороны в равнобедренном треугольнике равны, то AB = BC = 1.

Рассмотрим треугольник ADC. Также из условия задачи известно, что AD = BC = 1.

Теперь рассмотрим треугольник AEF. Мы знаем, что AE - перпендикуляр, опущенный из вершины B на сторону AD. Поскольку BC = 1, то AE тоже равно 1.

Теперь посмотрим на треугольник BCF. Мы знаем, что BF - перпендикуляр, опущенный из вершины C на сторону AD. Из свойств перпендикуляра следует, что треугольник BCF прямоугольный, поскольку угол CFB = 90 градусов. То есть, BCF - прямоугольный треугольник.

Теперь мы можем применить теорему Пифагора для треугольника BCF: BC^2 + CF^2 = BF^2.

Известно, что BC = 1. Поскольку треугольник BCF прямоугольный, у нас есть угол CFB = 90 градусов. То есть, мы можем записать:

1^2 + CF^2 = BF^2.

Теперь рассмотрим треугольник ACF. Мы знаем, что AC - диагональ, которая делит другую диагональ пополам. То есть, AC = BD. Мы также знаем, что AC = BD = 2 * AF, так как AC и BD делятся пополам точкой пересечения диагоналей.

Теперь мы можем записать:

AC = 2 * AF.

Из этого уравнения можно выразить AF:

AF = AC / 2.

Так как AC = BD и AC^2 + BD^2 = AB^2 + BC^2, то:

AC^2 + AC^2 = AB