Question

Через середину О отрезка АВ проведена прямая перпендикулярная прямой АВ докажите что каждая точка Х этой прямой одинакова удалена от точек А и В

Answer 1

Возьмем на прямой произвольную точку Х и соединим ее с точками А и В.Рассмотрим полученные треугольники: В ΔАОХ = ΔВОХ АО = ОВ, т.к. О — середина отрезка АВ;∠AОХ = ∠BОХ = 90°, т.к. АВ⊥ХО;ОХ — общая сторона.Таким образом, ΔАОХ = ΔВОХ по 1-му признаку равенства треугольников. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Отсюда АХ=ВХ. Что и требовалось доказать.

Answer 2

Предположим, что через середину О отрезка АВ проведена прямая, перпендикулярная прямой АВ. Обозначим эту прямую как l и точку на ней как Х.

Для доказательства, что каждая точка Х этой прямой одинаково удалена от точек А и В, мы можем использовать свойство перпендикуляра, согласно которому перпендикулярная прямая делит отрезок на две равные части.

Так как О является серединой отрезка АВ, то отрезок АО равен отрезку ВО, и точка О является серединой отрезка ХО. Аналогично, отрезок ВО равен отрезку АО, и точка О также является серединой отрезка ХВ.

Таким образом, мы имеем две равные стороны треугольника ХАО и ХВО: сторону ХО, которая является общей, и стороны АО и ВО, которые равны. По свойству треугольника с равными сторонами, угол ХАО равен углу ХВО.

Так как углы ХАО и ХВО являются вертикальными углами, а вертикальные углы равны, то угол ХАВ также равен углу ХВА.

У нас получилось, что угол ХАВ равен углу ХВА, что означает, что каждая точка Х на прямой l одинаково удалена от точек А и В.

Таким образом, мы доказали, что каждая точка Х этой прямой одинаково удалена от точек А и В.