Question

В ∆АВС известно,что <ВАС=60°,<АВС=45°.Продолжения высот ∆АВС пересекают описанную около него окружность в точках M;N;P. a)Докажитп,что ∆ MNP прямоугольный б)Найдите площадь ∆MNP,если ВС=6

Answer 1

Вот решение, Надеюсь,все понятно. Удачи

Answer 2

Для доказательства того, что треугольник MNP прямоугольный, мы должны показать, что угол между двумя его сторонами равен 90 градусам.

a) Доказательство прямоугольности треугольника MNP:

1. Рассмотрим треугольник ABC. Угол ВАС равен 60 градусам.
2. Также дано, что угол АВС равен 45 градусам.
3. Известно, что при вертикальной накрестной сумме углов смежных сторон, сумма углов равна 180 градусам. Значит, угол АВС + угол ВАС + угол САВ = 180 градусам. 45 градусов + 60 градусов + угол САВ = 180 градусам. Угол САВ = 75 градусов.
4. Так как угол в полукруге равен 90 градусам, то угол, образованный хордой и дугой, равен половине соответствующего центрального угла. Значит, угол МВС = 75 градусов / 2 = 37.5 градуса.
5. Аналогично, угол МАС = 60 градусов / 2 = 30 градусов.
6. Угол МСА = 180 градусов - угол МАС - угол МВС = 180 градусов - 30 градусов - 37.5 градусов = 112.5 градуса.
7. Таким образом, угол МСА равен 112.5 градусам, что делает треугольник MNP прямоугольным.

b) Найдем площадь треугольника MNP:

1. Для вычисления площади треугольника, нам нужны две его стороны и угол между ними.
2. Мы уже знаем, что угол МСА равен 112.5 градусам.
3. Также дано, что ВС = 6.
4. Поскольку M, N, P - это точки пересечения продолжений высот с описанной окружностью, то они лежат на окружности, а значит, радиус окружности равен расстоянию от центра окружности до каждой из точек M, N, P.
5. Обозначим радиус окружности как R.
6. Рассмотрим треугольник САВ. Мы знаем, что он является прямоугольным тре