Question

Дан четырехугольник ABCD, в котором AB=AD и BC=CD ( такой четырехугольник называется дельтоидом). Сделайте чертеж к задаче и докажите, что диагонали дельтоида перпендикулярны

Answer 1

Так как АВ = АД, то тр-ник ВАД - равнобедренный, ВД - основание. 
Аналогичто, тр-ник ВСД - также равнобедренный с основанием ВД.
Тр-ки АДС = АВС = по третьему признаку, так как АД = АВ,  СД = СВ, АС - общая. Отсюда следует, что АС - биссектриса углов ДАВ и ДСВ. А в равнобедренном тр-ке биссектриса, проведенная из угла, не прилегающего к основанию, является также высотой. Значит АС перпендикулярно ВД.
Доказано.

Answer 2

Чтобы доказать, что диагонали дельтоида ABCD перпендикулярны, рассмотрим следующий чертеж:

cssCopy code
    A --------- B
   /               \
  /                 \
 D --------- C

По условию задачи, AB = AD и BC = CD.

Давайте обозначим точку пересечения диагоналей как O. Тогда мы должны доказать, что AO и CO перпендикулярны.

Для доказательства, рассмотрим треугольники AOB и COD. У нас есть:

1. AB = AD (по условию)
2. BC = CD (по условию)
3. AO = CO (диагонали дельтоида делятся пополам)

Таким образом, треугольники AOB и COD являются равнобедренными треугольниками.

Теперь мы можем сделать следующие выводы:

1. Угол AOB = угол COD (равнобедренность треугольников)
2. Угол AOB + угол COD = 180 градусов (сумма углов треугольника)
3. Угол AOC = угол AOB + угол BOC (угол AOC является внешним углом треугольника BOC)

Из этих уравнений мы можем заключить, что:

угол AOC = угол COD + угол BOC = 180 градусов

Угол AOC равен 180 градусов, что означает, что AO и CO являются продолжениями сторон дельтоида и образуют прямую линию.

Следовательно, диагонали AO и CO дельтоида ABCD перпендикулярны друг другу.