Question

В окружность (r=4см) вписана трапеция. Угол BCA =30, угол BAC= углу CAD. Найти площадь трапеции ABCD.

Answer 1

Т.к вокруг трапеции описана окружность, то трапеция равнобедренная, и ее большее основание совпадает с диаметром этой окружности.
значит AD=D=2R=2*4=8см
т.к угол ACD опирается на диаметр, он прямой: угол ACD=90°.
угол C=угол BCA+угол ACD=30+90=120°.
т.к трапеция равнобедренная:
угол C=углу B и угол A=углу D, а в трапеции сумма всех угол равна 360°, значит:
уг A=уг D=(360-120-120)/2=120/2=60°
значит в треугольнике ACD - угол ACD=90°, угол CDA=60°, а угол CAD=30°. Катет лежащий против угла 30° равен половине гипотенузы, значит: CD=1/2AD=8/2=4см
AB=CD=4см
для нахождения BC используем теорему синусов:
BC/sinBAC=AB/sinBCA
BC/sin30°=4/sin30°
откуда следует, что BC=4
для нахождения площади трапеции через стороны используем формулу:
a=AD=8см
b=BC=4см
c=AB=CD=4см
S=(a+b)/2*sqrt(c^2-(a-b)^2/4)=6*sqrt(16-16/4)=6*sqrt(12)=12sqrt(3)
Ответ: S=12sqrt(3)