Question

Найти положительный корень уравнения (x-2)⁴-4(x-2)²=45

Answer 1

Для начала, давайте приведем данное уравнение к более простому виду.

(x-2)⁴ - 4(x-2)² = 45

Раскроем скобки:

(x-2)(x-2)(x-2)(x-2) - 4(x-2)(x-2) = 45

Теперь заменим переменную (x-2) на новую переменную y:

y⁴ - 4y² = 45

Получили квадратное уравнение относительно переменной y.

y⁴ - 4y² - 45 = 0

Теперь решим это уравнение с помощью факторизации.

Для начала, заметим, что данное уравнение является квадратным относительно переменной y²:

(y²)² - 4y² - 45 = 0

Теперь заменим переменную y² на новую переменную z:

z² - 4z - 45 = 0

Теперь факторизуем это уравнение:

(z - 9)(z + 5) = 0

Таким образом, мы получили два возможных значения для переменной z:

z - 9 = 0 => z = 9 z + 5 = 0 => z = -5

Теперь подставим значения переменной z обратно в уравнение y² = z:

y² = 9 => y = ±√9 => y = ±3 y² = -5 => нет решений, так как квадрат никогда не может быть отрицательным

Теперь подставим значения переменной y обратно в исходное уравнение:

(x-2) = 3 => x = 3 + 2 => x = 5 (x-2) = -3 => x = -3 + 2 => x = -1

Итак, положительные корни уравнения (x-2)⁴ - 4(x-2)² = 45 равны x = 5.