Question

Решить уравнение 2x^2-3x-2/x-2<5

Answer 1

Для решения данного неравенства нам нужно найти интервалы значений \( x \), для которых неравенство выполняется.

Имеем неравенство:

\[ \frac{2x^2 - 3x - 2}{x - 2} < 5 \]

Прежде чем начать, важно обратить внимание на область допустимых значений. Знаменатель не должен быть равен нулю, так как это приведет к делению на ноль. Таким образом, \( x \) не должен быть равен 2.

Теперь приступим к решению:

1. Начнем с факторизации числителя квадратного уравнения \( 2x^2 - 3x - 2 \):

\[ 2x^2 - 3x - 2 = (2x + 1)(x - 2) \]

2. Теперь неравенство примет вид:

\[ \frac{(2x + 1)(x - 2)}{x - 2} < 5 \]

3. Заметим, что \( x - 2 \) присутствует как сокращаемый множитель в числителе и знаменателе, поэтому его можно сократить:

\[ 2x + 1 < 5 \]

4. Теперь решаем полученное линейное неравенство:

\[ 2x < 4 \] \[ x < 2 \]

5. Так как \( x \) не должен быть равен 2 (из области допустимых значений), исключим это значение.

Итак, получается, что для данного неравенства выполняется условие \( x < 2 \) при условии, что \( x \) не равно 2. Таким образом, интервал решений данного неравенства: \( x \in (-\infty, 2) \).