Question

Найдите множество решений неравенства 12-x-x^2>0​

Answer 1

Чтобы найти множество решений неравенства \(12 - x - x^2 > 0\), давайте решим его шаг за шагом.

1. Сначала приведем неравенство к стандартному квадратному виду, выразив все члены в убывающем порядке степеней переменной:

\[x^2 + x - 12 < 0\]

2. Теперь найдем корни квадратного уравнения \(x^2 + x - 12 = 0\). Это можно сделать, используя факторизацию или квадратное уравнение. Факторизуем:

\[(x + 4)(x - 3) < 0\]

Отсюда получаем два корня: \(x = -4\) и \(x = 3\).

3. Теперь построим знаки в каждом из интервалов, образованных корнями:

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline (x + 4)(x - 3) & x < -4 & -4 < x < 3 & x > 3 \\ \hline + & - & + & - \\ \hline \end{array} \]

Где плюс означает положительный знак, а минус - отрицательный.

4. Теперь определим, когда выражение \((x + 4)(x - 3)\) меньше нуля (так как в исходном неравенстве стоит знак "<"). Это происходит на интервалах, где знак выражения отрицательный. Таким образом, множество решений неравенства:

\[x \in (-4, 3)\]

Таким образом, множество решений данного неравенства - все значения \(x\), принадлежащие открытому интервалу от -4 до 3.