Question

Разложите на множители c^2 - 1 + 2c ( c^2 - 1 ) + c^2 ( c^2 - 1 ) ; ( 3b + 1 )^2 - (3b - 2)^2 ; ( 2x - 1 )^2 - ( 4x + 1 )^2

Answer 1

Давайте поочередно разложим данные выражения на множители:

1. \(c^2 - 1 + 2c(c^2 - 1) + c^2(c^2 - 1)\)

Сначала факторизуем общий множитель \((c^2 - 1)\):

\[c^2 - 1 = (c + 1)(c - 1)\]

Теперь подставим это в исходное выражение:

\[c^2 - 1 + 2c(c^2 - 1) + c^2(c^2 - 1) = (c + 1)(c - 1) + 2c(c + 1)(c - 1) + c^2(c + 1)(c - 1)\]

Теперь выделим общий множитель \((c + 1)(c - 1)\):

\[(c + 1)(c - 1) + 2c(c + 1)(c - 1) + c^2(c + 1)(c - 1) = (c + 1)(c - 1)(1 + 2c + c^2)\]

Таким образом, выражение \((c^2 - 1 + 2c(c^2 - 1) + c^2(c^2 - 1))\) разлагается на множители как \((c + 1)(c - 1)(1 + 2c + c^2)\).

2. \((3b + 1)^2 - (3b - 2)^2\)

Разность квадратов может быть разложена как \((a + b)(a - b)\), где \(a = (3b + 1)\) и \(b = (3b - 2)\):

\[(3b + 1)^2 - (3b - 2)^2 = [(3b + 1) + (3b - 2)][(3b + 1) - (3b - 2)]\]

Упростим это выражение:

\[(3b + 1 + 3b - 2)(3b + 1 - (3b - 2)) = (6b - 1)(4)\]

Таким образом, выражение \((3b + 1)^2 - (3b - 2)^2\) разлагается на множители как \((6b - 1)(4)\).

3. \((2x - 1)^2 - (4x + 1)^2\)

Это также разность квадратов, поэтому мы можем воспользоваться формулой разности квадратов:

\[(2x - 1)^2 - (4x + 1)^2 = [(2x - 1) + (4x + 1)][(2x - 1) - (4x + 1)]\]

Упростим это выражение:

\[(6x)(-2x - 2) = -12x(x + 1)\]

Таким образом, выражение \((2x - 1)^2 - (4x + 1)^2\) разлагается на множители как \(-12x(x + 1)\).

Итак, мы разложили все три заданных выражения на множители:

1. \(c^2 - 1 + 2c(c^2 - 1) + c^2(c^2 - 1) = (c + 1)(c - 1)(1 + 2c + c^2)\)

2. \((3b + 1)^2 - (3b - 2)^2 = (6b - 1)(4)\)

3. \((2x - 1)^2 - (4x + 1)^2 = -12x(x + 1)\)