Question

Знайдіть похідну функції f(x)=2/x-1 в точці x0 = -1

Answer 1

Щоб знайти похідну функції f(x) = 2/x - 1 в точці x0 = -1, використовується правило диференціювання функції дробу та лінійну комбінацію правил диференціювання. Давайте розкриємо цей процес крок за кроком.

Правило диференціювання функції дробу: Якщо f(x) = g(x)/h(x), де g(x) та h(x) - диференційовані функції, то похідна функції f(x) визначається за формулою:

f'(x) = (g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)) / (h(x))^2.

У нашому випадку, g(x) = 2 і h(x) = x - 1. Застосуємо це правило:

f'(x) = (2' * (x - 1) - 2 * (x - 1)') / ((x - 1)^2).

Крок 1: Знайдемо похідну функції g(x) = 2. Похідна константи дорівнює нулю, тому g'(x) = 0.

Крок 2: Знайдемо похідну функції h(x) = x - 1. Похідна лінійної функції дорівнює коефіцієнту при x, тому h'(x) = 1.

Крок 3: Підставимо знайдені значення у формулу для похідної f(x):

f'(x) = (0 * (x - 1) - 2 * 1) / ((x - 1)^2).

f'(x) = -2 / (x - 1)^2.

Крок 4: Знаходимо значення похідної в точці x0 = -1, підставляючи x = -1 у вираз:

f'(-1) = -2 / ((-1) - 1)^2.

f'(-1) = -2 / (-2)^2.

f'(-1) = -2 / 4.

f'(-1) = -1/2.

Отже, похідна функції f(x) = 2/x - 1 в точці x0 = -1 дорівнює -1/2.