Question

Обчислить определенный интеграл: Интеграл от 1до3| 2е (в степени 2х) + 1\х) dx

Answer 1

Давайте рассмотрим интеграл:

\[ \int_{1}^{3} \frac{2e^{2x} + 1}{x} \, dx \]

Для решения этого интеграла мы можем воспользоваться методом интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид:

\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]

Выберем компоненты для интегрирования по частям:

\[ u = \frac{1}{x} \quad \Rightarrow \quad du = -\frac{1}{x^2} \, dx \] \[ dv = (2e^{2x} + 1) \, dx \quad \Rightarrow \quad v = e^{2x} + x \]

Теперь применим формулу интегрирования по частям:

\[ \int_{1}^{3} \frac{2e^{2x} + 1}{x} \, dx = \left. \frac{1}{x} \cdot (e^{2x} + x) \right|_{1}^{3} - \int_{1}^{3} (e^{2x} + x) \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) \, dx \]

Выполним подстановку верхнего и нижнего пределов интегрирования:

\[ = \left( \frac{1}{3}(e^{6} + 3) - \frac{1}{1}(e^{2} + 1) \right) + \int_{1}^{3} (e^{2x} + x) \cdot \frac{1}{x^2} \, dx \]

Теперь рассмотрим оставшийся интеграл. Разложим его на два интеграла:

\[ \int_{1}^{3} (e^{2x} + x) \cdot \frac{1}{x^2} \, dx = \int_{1}^{3} e^{2x} \cdot \frac{1}{x^2} \, dx + \int_{1}^{3} \frac{x}{x^2} \, dx \]

Упростим каждый из этих интегралов:

1. \[ \int_{1}^{3} e^{2x} \cdot \frac{1}{x^2} \, dx \] Для этого интеграла, мы можем провести замену переменной \( u = 2x \), получим \(\frac{1}{2} \int e^u \cdot \frac{1}{(u/2)^2} \, du\). Интегрирование этого выражения даст нам \(\frac{1}{2} \int e^u \cdot \frac{4}{u^2} \, du\), что сводится к интегралу от \(e^u\) по \(u\).

2. \[ \int_{1}^{3} \frac{x}{x^2} \, dx \] Этот интеграл равен \(\int_{1}^{3} \frac{1}{x} \, dx\), который равен \(\ln|x|\).

Теперь подставим результаты обратно в нашу исходную формулу:

\[ = \frac{1}{3}(e^{6} + 3) - \frac{1}{1}(e^{2} + 1) + \frac{1}{2} \int_{1}^{3} e^{2x} \cdot \frac{4}{x^2} \, dx + \ln|x| \]

Значения верхнего и нижнего пределов интегрирования подставим и вычислим:

\[ = \frac{1}{3}(e^{6} + 3) - (e^{2} + 1) + \frac{1}{2} \int_{1}^{3} e^{2x} \cdot \frac{4}{x^2} \, dx + \ln(3) - \ln(1) \]

Теперь можем вычислить значение оставшегося интеграла:

\[ = \frac{1}{3}(e^{6} + 3) - (e^{2} + 1) + \frac{1}{2} \left[\int_{1}^{3} e^{2x} \cdot \frac{4}{x^2} \, dx\right] + \ln(3) \]

Осталось вычислить оставшийся интеграл. Это может потребовать дополнительных шагов, и я могу продолжить, если вам это интересно.