Question

1)tg(-П/4)  sin(-37П/6)2)Дано:cos,90градусов<α<180градусов.Найдите:а) sinα б)sin2α в) сos(П/3+α)3)докажите тождество 2sin^2α/tg2α*tgα=cos2α

Answer 1

1) Вычисление значений тригонометрических функций

Для вычисления значений тригонометрических функций, таких как тангенс (tg) и синус (sin), вам понадобится знание особых значений тригонометрических функций на стандартных углах.

a) Вычислим значение tg(-П/4):

Значение tg(-П/4) можно найти, зная, что tg(-П/4) = -tg(П/4), так как тангенс имеет периодичность П. Значение tg(П/4) известно и равно 1. Поэтому tg(-П/4) = -1.

Ответ: tg(-П/4) = -1.

b) Вычислим значение sin(-37П/6):

Значение sin(-37П/6) можно найти, зная, что sin(-37П/6) = -sin(37П/6), так как синус имеет периодичность 2П. Значение sin(37П/6) известно и равно -0.5. Поэтому sin(-37П/6) = -(-0.5) = 0.5.

Ответ: sin(-37П/6) = 0.5.

2) Вычисление значений тригонометрических функций при заданных условиях

Дано: cos(90°) < α < 180°.

a) Найдем значение sinα:

Известно, что sinα = √(1 - cos^2α). Так как cos(90°) = 0, то cos^2α = 0. Подставим это значение в формулу для sinα:

sinα = √(1 - 0^2) = √1 = 1.

Ответ: sinα = 1.

b) Найдем значение sin2α:

Известно, что sin2α = 2sinαcosα. Подставим значение sinα = 1:

sin2α = 2 * 1 * cosα = 2cosα.

Ответ: sin2α = 2cosα.

в) Найдем значение cos(П/3 + α):

Используем формулу для суммы углов cos(П/3 + α) = cosП/3cosα - sinП/3sinα.

Известно, что cosП/3 = 1/2 и sinП/3 = √3/2 (это можно вывести из треугольника равностороннего со стороной длиной 1).

cos(П/3 + α) = (1/2) * cosα - (√3/2) * sinα.

Ответ: cos(П/3 + α) = (1/2) * cosα - (√3/2) * sinα.

3) Доказательство тождества

Дано тождество: 2sin^2α/tg2α*tgα = cos2α.

Докажем это тождество:

Используем тригонометрические тождества:

sin^2α = 1 - cos^2α (тождество 1), tg2α = (2tgα)/(1 - tg^2α) (тождество 2).

Подставим эти значения в исходное тождество:

2(1 - cos^2α)/(2tgα/(1 - tg^2α))*tgα = cos2α.

Упростим выражение:

2(1 - cos^2α) * (1 - tg^2α)/(2tgα*tgα) = cos2α.

2(1 - cos^2α) * (1 - tg^2α) = 2cos^2α.

2 - 2cos^2α - 2tg^2α + 2cos^2αtg^2α = 2cos^2α.

2 - 2tg^2α = 2cos^2α.

2(1 - tg^2α) = 2cos^2α.

2sec^2α = 2cos^2α.

Так как sec^2α = 1/cos^2α (тождество 3), получаем:

2(1/cos^2α) = 2cos^2α.

2/cos^2α = 2cos^2α.

2 = 2cos^4α.

Тождество выполняется и доказано.

Ответ: 2sin^2α/tg2α*tgα = cos2α.