Question

1).решите неравенство: в корне10-х>4-x c помощью системы. 2).найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) y=1/x, y=0, x=1, x=e^3; б) y=в корне4-х, y=2+(x-4)^3, y=3.

Answer 1

Давайте решим поставленные задачи по очереди.

Решение неравенства

1) Дано неравенство: в корне(10 - x) > 4 - x + c.

Для начала приведем его к более удобному виду, перенеся все слагаемые с переменными на одну сторону:

в корне(10 - x) - (4 - x + c) > 0.

Следующим шагом возведем обе части неравенства в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(в корне(10 - x) - (4 - x + c))^2 > 0.

Раскроем квадрат:

(10 - x - 4 + x - c)^2 > 0.

Упростим выражение:

(6 - c)^2 > 0.

Так как квадрат любого числа всегда неотрицательный, то неравенство (6 - c)^2 > 0 выполняется для любого значения c. То есть, решением данного неравенства является любое значение c.

Нахождение площади фигуры

2) Дано уравнение фигуры:

а) y = 1/x, y = 0, x = 1, x = e^3.

Для начала построим график данных функций:

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(0.01, 10, 100)
y1 = 1 / x
y2 = np.zeros_like(x)
x3 = np.array([1, np.exp(3)])
y3 = np.array([0, 0])

plt.plot(x, y1, label='y = 1/x')
plt.plot(x, y2, label='y = 0')
plt.plot(x3, y3, label='x = 1')
plt.plot(x3, y3, label='x = e^3')

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Graph of the functions')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

Получившийся график представлен ниже:


Теперь найдем площадь фигуры, ограниченной данными линиями. Для этого разобьем фигуру на две области: треугольник и сектор окружности.

Площадь треугольника можно найти с помощью формулы:

S = (1/2) * основание * высота.

В данном случае основание треугольника равно разности x-координат точек (1, 0) и (e^3, 0), то есть (1 - e^3). Высота треугольника равна y-координате точки (1, 0), то есть 0.

S_треугольника = (1/2) * (1 - e^3) * 0 = 0.

Теперь найдем площадь сектора окружности. Для этого нужно найти длину дуги, ограниченной углом между x = 1 и x = e^3. Длина дуги находится по формуле:

L = r * угол, где r - радиус окружности, угол - в радианах.

В данном случае радиус окружности равен расстоянию от начала координат до точки (1, 0), то есть 1. Угол можно найти, зная, что x = 1 и x = e^3. Угол равен разности этих значений:

угол = e^3 - 1.

Теперь можем найти длину дуги:

L = 1 * (e^3 - 1) = e^3 - 1.

И, наконец, площадь сектора окружности:

S_сектора = (1/2) * r^2 * угол = (1/2) * 1^2 * (e^3 - 1) = (1/2) * (e^3 - 1).

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 1/x, y = 0, x = 1, x = e^3, равна сумме площади треугольника и площади сектора:

S = S_треугольника + S_сектора = 0 + (1/2) * (e^3 - 1) = (1/2) * (e^3 - 1).

б) y = корень(4 - x), y = 2 + (x - 4)^3, y = 3.

Для начала построим график данных функций:

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(0, 6, 100)
y1 = np.sqrt(4 - x)
y2 = 2 + (x - 4)**3
y3 = np.full_like(x, 3)

plt.plot(x, y1, label='y = sqrt(4 - x)')
plt.plot(x, y2, label='y = 2 + (x - 4)^3')
plt.plot(x, y3, label='y = 3')

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Graph of the functions')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

Получившийся график представлен ниже:


Теперь найдем площадь фигуры, ограниченной данными линиями. Для этого разобьем фигуру на две области: треугольник и прямоугольник.

Площадь треугольника можно найти с помощью формулы:

S = (1/2) * основание * высота.

В данном случае основание треугольника равно разности x-координат точек (0, 3) и (6, 3), то есть 6. Высота треугольника равна разности y-координат точек (0, 3) и (0, корень(4 - 0)), то есть 3 - корень(4).

S_треугольника = (1/2) * 6 * (3 - корень(4)) = 3 * (3 - корень(4)).

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

S_прямоугольника = (6 - 0) * (2 + (6 - 4)^3 - 3) = 6 * (2 + 2^3 - 3) = 6 * 5 = 30.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = корень(4 - x), y = 2 + (x - 4)^3, y = 3, равна сумме площади треугольника и площади прямоугольника:

S = S_треугольника + S_прямоугольника = 3 * (3 - корень(4)) + 30.

Ответ:

а) Для неравенства в корне(10 - x) > 4 - x + c, решением является любое значение c.

б) Площадь фигуры, ограниченной линиями y = 1/x, y = 0, x = 1, x = e^3, равна (1/2) * (e^3 - 1).

в) Площадь фигуры, ограниченной линиями y = корень(4 - x), y = 2 + (x - 4)^3, y = 3, равна 3 * (3