Question

Help) 2cos*2(квадрат)x-5sinx+1=0 Тригонометрия

Answer 1

Конечно, давайте разберем уравнение:

\[2\cos^2(x) - 5\sin(x) + 1 = 0.\]

Для решения этого уравнения воспользуемся различными тригонометрическими тождествами. Посмотрим, как мы можем его упростить.

Сначала, заметим, что \(\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)\) (тригонометрическое тождество). Подставим это в уравнение:

\[2(1 - \sin^2(x)) - 5\sin(x) + 1 = 0.\]

Раскроем скобки:

\[2 - 2\sin^2(x) - 5\sin(x) + 1 = 0.\]

Теперь объединим подобные члены:

\[-2\sin^2(x) - 5\sin(x) + 3 = 0.\]

Умножим все члены на \(-1\), чтобы упростить уравнение:

\[2\sin^2(x) + 5\sin(x) - 3 = 0.\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(\sin(x)\). Мы можем решить его с использованием дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac,\]

где \(a = 2\), \(b = 5\), \(c = -3\).

\[D = 5^2 - 4(2)(-3) = 25 + 24 = 49.\]

Так как дискриминант положителен, у нас есть два действительных корня. Формула для корней квадратного уравнения:

\[\sin(x) = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.\]

Подставим значения:

\[\sin(x) = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{4}.\]

Теперь найдем два корня:

1. \(\sin(x) = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{1}{2}.\) 2. \(\sin(x) = \frac{-5 - 7}{4} = -3.\)

Однако, \(\sin(x)\) должен находиться в пределах от -1 до 1. Таким образом, второй корень не подходит.

Теперь, найдем углы \(x\), для которых \(\sin(x) = \frac{1}{2}\). Это происходит при \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k\) и \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\), где \(k\) - любое целое число.

Таким образом, решения уравнения \(2\cos^2(x) - 5\sin(x) + 1 = 0\) в интервале от \(0\) до \(2\pi\) это \(x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}.\)